内积与外积(Inner/Outer/Interior/Exterior)Product 及在计算机中的概念
向量和矩阵中有内积、外积等运算,但由于Outer Product和Exterior Product中文翻译都是“外积”。
Outer Product是线性代数中的外积(WikiPedia: Outer Product),也就是张量积 ;
Exterior Product是解析几何中的外积(WikiPedia: Exterior Algebra),又叫叉乘(WikiPedia: Cross Product),即两个向量的法向量,一般用在三维空间。
向量内积(Inner product) :
A·B,<a,b>,得到一个数
这个最好理解,又叫向量点乘,也叫向量的内积、数量积。顾名思义,求下来的结果是一个数.
向量a·向量b=|a||b|cos
在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘。
向量外积分两种(Outer Product和Exterior Product):
Outer Product
又称张量积,例如线性代数中一列乘一行得到的一个矩阵,两个向量的Outer Product是一个矩阵
一般写作 aⓧb
注意:np中多维向量的外积都是先拉平,再求外积,如下(和矩阵外积有区别):
Exterior Product(即中学课本常见的“外积”):
又称作叉乘,如下图所示,写作 a X b,几何意义为两个向量的法向量
矩阵乘法有很多种:
一般矩阵乘法,称作matmul product,中学课本的乘法,不做过多描述:
矩阵外积(升维运算):一般指的是Kronecker product(克罗内克积)
A⊗B,两个任意矩阵大小都可相乘
矩阵外积就是矩阵的升维运算,将两个矩阵拉成向量形式,再按向量的外积运算。如mxn维矩阵与pxq维矩阵的外积维度为(mn)x(pq). 两个2x2的矩阵外积维度为(2x2)x(2x2)=4x4.
如
矩阵内积:一般认为,矩阵内积是矩阵对应元素成绩之和,类似于CNN的卷积。
如下图所示
矩阵元素积(element-wise product, point-wise product, Hadamard product),一般指Hadamard product(哈达玛积),如下所示:
一般写作:A⊙B
矩阵点积:点积(dot product),也称内积(inner product),标量积(scalar product)
符号:A.B,<a,b>,和矩阵内积一样,对应元素相乘之和(有的地方可能把dot product计算为按照元素相乘后的矩阵,类似于按元素乘法,要根据具体情况和代码来分析,这块概念太杂了),要求两个矩阵大小一样。
1.向量点积。变成一个数。
2.矩阵点积。是每行每列的点积的矩阵(这句话存在争议,我觉得和向量点积一样)
矩阵的内积、外积、Hadamard积相关正确定义见:
矩阵内积、外积(克罗内克积)和Hadamard积_zhinanpolang的专栏-CSDN博客_矩阵内积
PS:深度学习论文中,numpy中的常见运算,主要以矩阵按元素乘(A⊙B)、哈达玛积(外积,A⊗B)为主,可适当参考(这篇文章有些概念不一定对,比如矩阵内积的解释):基本概念------内积与外积 inner & outer product_My_Communication的博客-CSDN博客_矩阵外积
numpy中的np.outer等应用:
Numpy中outer的应用_秦昊wan-CSDN博客_numpy.outer
详细的概念和符号表示,可参考(矩阵外积之处有误,计算成正确结果的转置矩阵):
矩阵的各种乘积_zkq_1986的博客-CSDN博客_矩阵点积
部分图引用自:
190722-内积与外积(Inner/Outer/Interior/Exterior)Product_KL's Notebook-CSDN博客
向量的点乘(内积)和叉乘(外积)_mjiansun的专栏-CSDN博客_多维向量叉乘
感谢以上几位博主,主要根据他们的博客汇总而来的。难免有错误之处,一起改进!
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