内积、外积和叉乘

已知矢量aaa和bbb，其内积为
a⋅b=abT=baT=axbx+ayby+azbza\cdot b=ab^T=ba^T=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_za⋅b=abT=baT=axbx+ayby+azbz
其外积为
a⊗b=aTb=(axbxaxbyaxbzaybxaybyaybzazbxazbyazbz)a\otimes b=a^Tb=\begin {pmatrix} a_xb_x&a_xb_y&a_xb_z\\a_yb_x&a_yb_y&a_yb_z\\a_zb_x&a_zb_y&a_zb_z \end {pmatrix}a⊗b=aTb=⎝⎛axbxaybxazbxaxbyaybyazbyaxbzaybzazbz⎠⎞
或
b⊗a=bTa=(bxaxbxaybxazbyaxbyaybyazbzaxbzaybzaz)b\otimes a=b^Ta=\begin {pmatrix} b_xa_x&b_xa_y&b_xa_z\\b_ya_x&b_ya_y&b_ya_z\\b_za_x&b_za_y&b_za_z \end {pmatrix}b⊗a=bTa=⎝⎛bxaxbyaxbzaxbxaybyaybzaybxazbyazbzaz⎠⎞
可以知道a⋅b=tr(a⊗b)=tr(b⊗a)a\cdot b=tr(a\otimes b)=tr(b\otimes a)a⋅b=tr(a⊗b)=tr(b⊗a)，从这可以看到点乘与外积的关系，那么叉乘与外积是什么关系呢?
a×b=∣ijkaxayazbxbybz∣=(aybz−byazazbx−bzaxaxby−aybx)a\times b=\begin {vmatrix} i&j&k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z \end {vmatrix}= \begin{pmatrix} a_yb_z-b_ya_z&a_zb_x-b_za_x&a_xb_y-a_yb_x \end {pmatrix} a×b=∣∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣∣=(aybz−byazazbx−bzaxaxby−aybx)
bTa−aTb=(0bxay−axbybxaz−axbzbyax−aybx0byaz−aybzbzax−azbxbzay−azby0)b^Ta-a^Tb=\begin {pmatrix} 0&b_xa_y-a_xb_y&b_xa_z-a_xb_z\\ b_ya_x-a_yb_x&0&b_ya_z-a_yb_z\\ b_za_x-a_zb_x&b_za_y-a_zb_y&0 \end {pmatrix}bTa−aTb=⎝⎛0byax−aybxbzax−azbxbxay−axby0bzay−azbybxaz−axbzbyaz−aybz0⎠⎞
观察两式可知，bTa−aTbb^Ta-a^TbbTa−aTb是a×ba\times ba×b的反对称矩阵。我们可以将bTa−aTbb^Ta-a^TbbTa−aTb记做为b⊠ab \boxtimes ab⊠a。b⊠ab \boxtimes ab⊠a有一个非常实用的性质，任意矢量与之相乘得到以该矢量垂直的矢量，且该矢量在aaa和bbb形成的平面上，即如果c′=c(b⊠a)c'=c(b \boxtimes a)c′=c(b⊠a)，那么c′c'c′与ccc垂直，且c′c'c′与aaa和bbb共面。证明如下：
c′=c(b⊠a)=cbTa−caTbc'=c(b \boxtimes a)=cb^Ta-ca^Tbc′=c(b⊠a)=cbTa−caTb
其中cbTcb^TcbT与caTca^TcaT为标量，将两个用k1k_1k1和k2k_2k2代替，所以
c′=c(b⊠a)=k1a−k2bc'=c(b \boxtimes a)=k_1a-k_2bc′=c(b⊠a)=k1a−k2b
所以c′c'c′可用aaa与bbb线性表示，也就是c′c'c′与aaa和bbb共面。
c′cT=c(b⊠a)cT=cbTacT−caTbcTc'c^T=c(b \boxtimes a)c^T=cb^Tac^T-ca^Tbc^Tc′cT=c(b⊠a)cT=cbTacT−caTbcT
其中cbTacTcb^Tac^TcbTacT为标量，所以
cbTacT=(cbTacT)T=(acT)T(cbT)T=caTbcTcb^Tac^T=(cb^Tac^T)^T=(ac^T)^T(cb^T)^T=ca^Tbc^TcbTacT=(cbTacT)T=(acT)T(cbT)T=caTbcT
所以c′cT=0c'c^T=0c′cT=0，即c′c'c′与ccc垂直。c′c'c′、ccc、aaa、bbb其位置关系如下图所示
其中c′c'c′可以称为ccc的侧影，如果c′c'c′再乘以(b⊠a)(b \boxtimes a)(b⊠a)得到ccc在平面ababab的投影projcprojcprojc。

多维空间、场、正交场

同上，aaa成以(b⊠a)(b \boxtimes a)(b⊠a)得到一个垂直于aaa且在aaa和bbb形成的平面上的矢量，bbb成以(b⊠a)(b \boxtimes a)(b⊠a)得到一个垂直于bbb且在aaa和bbb形成的平面上的矢量。那么是否存在一个矢量既垂直于aaa又垂直于bbb。假使存在，这个矢量为xxx，则有
{caT=0cbT=0\begin{cases} ca^T=0\\ cb^T=0 \end{cases}{caT=0cbT=0
所以cbTa−caTb=0cb^Ta-ca^Tb=0cbTa−caTb=0
所以c(a⊠b)=0c(a\boxtimes b)=\mathbf{0}c(a⊠b)=0
也就是说，ccc是方程c(a⊠b)=0c(a\boxtimes b)=\mathbf{0}c(a⊠b)=0的解。实际上，求该矩阵的解实际上还是比较难，还是可以回到
{caT=0cbT=0\begin{cases} ca^T=0\\ cb^T=0 \end{cases}{caT=0cbT=0
在三维空间中，可得方程
(c1c2c3)(a1b1a2b2a3b3)=(000)\begin{pmatrix} c_1&c_2&c_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1&b_1\\a_2&b_2 \\a_3&b_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&0&0 \end{pmatrix} (c1c2c3)⎝⎛a1a2a3b1b2b3⎠⎞=(000)这个方程有无数个解，不过基础解就是一个。求这个基础解可以用这样的方法，写一个行列式
M=∣c1c2c3a1a2a3b1b2b3∣M=\begin{vmatrix} c_1&c_2&c_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix}M=∣∣∣∣∣∣c1a1b1c2a2b2c3a3b3∣∣∣∣∣∣
当c1=M11′c_1=M'_{11}c1=M11′, c2=M12′c_2=M'_{12}c2=M12′, c3=M13′c_3=M'_{13}c3=M13′时，其中Mij′M'_{ij}Mij′表示第i行j列的代数余子式，上述方程成立。这就是常用来求a×ba\times ba×b的方法。我们知道三维中垂直于aaa和bbb的矢量为a×ba\times ba×b，那么四维呢?同样可以得到一个方程组
(c1c2c3c4)(a1b1a2b2a3b3a4b4)=(0000)\begin{pmatrix} c_1&c_2&c_3&c_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1&b_1\\a_2&b_2 \\a_3&b_3\\ a_4&b_4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&0&0&0 \end{pmatrix} (c1c2c3c4)⎝⎜⎜⎛a1a2a3a4b1b2b3b4⎠⎟⎟⎞=(0000)
这个方程也有无数个解，但这个解有两个基础解。也就是说四维空间中一个平面的法矢有无数条，这些法矢都在同一个平面上。如何得到该平面的典型的两个矢量呢?同样可写一个行列式
∣c1c2c3c4a1a2a3a4b1b2b3b4∣\begin{vmatrix} c_1&c_2&c_3&c_4\\a_1&a_2&a_3&a_4\\b_1&b_2&b_3&b_4 \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣c1a1b1c2a2b2c3a3b3c4a4b4∣∣∣∣∣∣将再c1c_1c1,c2c_2c2,c3c_3c3,c4c_4c4中任取一个设为0，比如c4c_4c4，则得到
∣c1c2c30a1a2a3b4b1b2b3c4∣\begin{vmatrix} c_1&c_2&c_3&0\\a_1&a_2&a_3&b_4\\b_1&b_2&b_3&c_4 \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣c1a1b1c2a2b2c3a3b30b4c4∣∣∣∣∣∣
其中c1c_1c1,c2c_2c2和c3c_3c3就是下面行列式的代数余子式
∣c1c2c3a1a2a3b1b2b3∣\begin{vmatrix} c_1&c_2&c_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣c1a1b1c2a2b2c3a3b3∣∣∣∣∣∣从而得到一个矢量c1=(c1,c2,c3,0)c^1=(c_1,c_2,c_3,0)c1=(c1,c2,c3,0)，用这样的方法可以得到四个矢量c1c^1c1，c2c^2c2，c3c^3c3，c4c^4c4，他们是线性相关的，并且秩为2。证明如下：
设得到的四个矢量为c1=(c11,c21,c31,0)c^1=(c^1_1,c^1_2,c^1_3,0)c1=(c11,c21,c31,0)，c2=(c12,c22,0,c42)c^2=(c^2_1,c^2_2,0,c^2_4)c2=(c12,c22,0,c42)，c3=(c13,0,c33,c43)c^3=(c^3_1,0,c^3_3,c^3_4)c3=(c13,0,c33,c43)，c4=(0,c14,c24,c44)c^4=(0,c^4_1,c^4_2,c^4_4)c4=(0,c14,c24,c44)，那么有
{c11⋅a1+c21⋅a2+c31⋅a3=0c11⋅b1+c21⋅b2+c31⋅b3=0{c12⋅a1+c22⋅a2+c42⋅a4=0c12⋅b1+c22⋅b2+c42⋅b4=0\begin{cases}c^1_1\cdot a_1+c^1_2\cdot a_2+c^1_3\cdot a_3=0\\c^1_1\cdot b_1+c^1_2\cdot b_2+c^1_3\cdot b_3=0\end{cases}\\ \begin{cases}c^2_1\cdot a_1+c^2_2\cdot a_2+c^2_4\cdot a_4=0\\c^2_1\cdot b_1+c^2_2\cdot b_2+c^2_4\cdot b_4=0\end{cases} {c11⋅a1+c21⋅a2+c31⋅a3=0c11⋅b1+c21⋅b2+c31⋅b3=0{c12⋅a1+c22⋅a2+c42⋅a4=0c12⋅b1+c22⋅b2+c42⋅b4=0
将第一式乘以−c22/c21-c^2_2/c^1_2−c22/c21加到第二式
{(−c11c22/c21+c12)⋅a1+0⋅a2−c31c22/c21⋅a3+c42⋅a4=0(−c11c22/c21+c12)⋅b1+0⋅b2−c31c22/c21⋅b3+c42⋅b4=0\begin{cases}(-c^1_1c^2_2/c^1_2+c^2_1)\cdot a_1+0\cdot a_2-c^1_3c^2_2/c^1_2\cdot a_3+c^2_4\cdot a_4=0\\(-c^1_1c^2_2/c^1_2+c^2_1)\cdot b_1+0\cdot b_2-c^1_3c^2_2/c^1_2\cdot b_3+c^2_4\cdot b_4=0\end{cases}{(−c11c22/c21+c12)⋅a1+0⋅a2−c31c22/c21⋅a3+c42⋅a4=0(−c11c22/c21+c12)⋅b1+0⋅b2−c31c22/c21⋅b3+c42⋅b4=0
所以(c13,0,c33,c43)=k(−c11c22/c21+c12,0,c31c22/c21,c42)(c^3_1,0,c^3_3,c^3_4)=k(-c^1_1c^2_2/c^1_2+c^2_1,0,c^1_3c^2_2/c^1_2,c^2_4)(c13,0,c33,c43)=k(−c11c22/c21+c12,0,c31c22/c21,c42)
所以c3=−kc22/c21⋅c1)+k⋅c2c^3=-kc^2_2/c^1_2\cdot c^1)+k\cdot c^2c3=−kc22/c21⋅c1)+k⋅c2即c3=k1⋅c1+k2⋅c2c^3=k_1\cdot c^1+k_2\cdot c^2c3=k1⋅c1+k2⋅c2
同理可证c4=k1⋅c1+k2⋅c2c^4=k_1\cdot c^1+k_2\cdot c^2c4=k1⋅c1+k2⋅c2
对于五维呢?可以得到方程组
(c1c2c3c4c5)(a1b1a2b2a3b3a4b4a5b5)=(00000)\begin{pmatrix} c_1&c_2&c_3&c_4&c_5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1&b_1\\a_2&b_2 \\a_3&b_3\\ a_4&b_4\\ a_5&b_5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} (c1c2c3c4c5)⎝⎜⎜⎜⎜⎛a1a2a3a4a5b1b2b3b4b5⎠⎟⎟⎟⎟⎞=(00000)该方程有三个基础解。也就是五维空间中，一个平面的法矢形成一个三维空间。解这个三维空间可同样可以采用行列式的方式，即列一个行列式
∣c1c2c3c4c5a1a2a3a4a5b1b2b3b4b5∣\begin{vmatrix} c_1&c_2&c_3&c_4&c_5\\a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\\b_1&b_2&b_3&b_4&b_5 \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣c1a1b1c2a2b2c3a3b3c4a4b4c5a5b5∣∣∣∣∣∣任取三列组成新的行列式，如
∣c1c2c3a1a2a3b1b2b3∣,∣c2c3c4a2a3a4b2b3b4∣,∣c3c4c5a3a4a5b3b4b5∣\begin{vmatrix} c_1&c_2&c_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} c_2&c_3&c_4\\a_2&a_3&a_4\\b_2&b_3&b_4 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} c_3&c_4&c_5\\a_3&a_4&a_5\\b_3&b_4&b_5 \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣c1a1b1c2a2b2c3a3b3∣∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∣c2a2b2c3a3b3c4a4b4∣∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∣c3a3b3c4a4b4c5a5b5∣∣∣∣∣∣这三个行列式的第一行代数余子式为M11′,M12′,M13′M'_{11},M'_{12},M'_{13}M11′,M12′,M13′、M21′,M22′,M23′M'_{21},M'_{22},M'_{23}M21′,M22′,M23′和M31′,M32′,M33′M'_{31},M'_{32},M'_{33}M31′,M32′,M33′
可构成三个矢量(M11′,M12′,M13′,0,0)(M'_{11},M'_{12},M'_{13},0,0)(M11′,M12′,M13′,0,0)、(0,M21′,M22′,M23′,0)(0,M'_{21},M'_{22},M'_{23},0)(0,M21′,M22′,M23′,0)和(0,0,M31′,M32′,M33′)(0,0,M'_{31},M'_{32},M'_{33})(0,0,M31′,M32′,M33′)，从而构成三维空间。
如果在五维空间中有三条矢量aaa,bbb,ccc，求垂直于这三条矢量的矢量ddd。ddd为该方程的解：
(d1d2d3d4d5)(a1b1c1a2b2c2a3b3c3a4b4c4a5b5c5)=(00000)\begin{pmatrix} d_1&d_2&d_3&d_4&d_5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2 \\a_3&b_3&c_3\\ a_4&b_4&c_4\\ a_5&b_5&c_5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} (d1d2d3d4d5)⎝⎜⎜⎜⎜⎛a1a2a3a4a5b1b2b3b4b5c1c2c3c4c5⎠⎟⎟⎟⎟⎞=(00000)该方程有两个基础解，解的方法为：
列出行列式
∣d1d2d3d4d5a1a2a3a4a5b1b2b3b4b5c1c2c3c4c5∣\begin{vmatrix} d_1&d_2&d_3&d_4&d_5\\a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\\b_1&b_2&b_3&b_4&b_5\\c_1&c_2&c_3&c_4&c_5 \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣d1a1b1c1d2a2b2c2d3a3b3c3d4a4b4c4d5a5b5c5∣∣∣∣∣∣∣∣任取两个行列式，如
∣d1d2d3d4a1a2a3a4b1b2b3b4c1c2c3c4∣,∣d2d3d4d5a2a3a4a5b2b3b4b5c2c3c4c5∣\begin{vmatrix} d_1&d_2&d_3&d_4\\a_1&a_2&a_3&a_4\\b_1&b_2&b_3&b_4\\c_1&c_2&c_3&c_4 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} d_2&d_3&d_4&d_5\\a_2&a_3&a_4&a_5\\b_2&b_3&b_4&b_5\\c_2&c_3&c_4&c_5 \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣d1a1b1c1d2a2b2c2d3a3b3c3d4a4b4c4∣∣∣∣∣∣∣∣,∣∣∣∣∣∣∣∣d2a2b2c2d3a3b3c3d4a4b4c4d5a5b5c5∣∣∣∣∣∣∣∣其第一行的代数余子式就可构成两个特解。
如果在五维空间中有三条矢量aaa,bbb,ccc,ddd，求垂直于这三条矢量的矢量eee。eee为该方程的解：(e1e2e3e4e5)(a1b1c1d1a2b2c2d2a3b3c3d3a4b4c4d4a5b5c5d5)=(00000)\begin{pmatrix} e_1&e_2&e_3&e_4&e_5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1&b_1&c_1&d_1\\a_2&b_2&c_2&d_2 \\a_3&b_3&c_3&d_3\\ a_4&b_4&c_4&d_4\\ a_5&b_5&c_5&d_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} (e1e2e3e4e5)⎝⎜⎜⎜⎜⎛a1a2a3a4a5b1b2b3b4b5c1c2c3c4c5d1d2d3d4d5⎠⎟⎟⎟⎟⎞=(00000)该解只有一个基础解，即行列式第一个行的代数余子式∣e1e2e3e4e5a1a2a3a4a5b1b2b3b4b5c1c2c3c4c5d1d2d3d4d5∣\begin{vmatrix}e_1&e_2&e_3&e_4&e_5\\a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\\b_1&b_2&b_3&b_4&b_5\\c_1&c_2&c_3&c_4&c_5\\d_1&d_2&d_3&d_4&d_5\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣e1a1b1c1d1e2a2b2c2d2e3a3b3c3d3e4a4b4c4d4e5a5b5c5d5∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣对于N维空间内，其内部的某一个子空间有M条非线性相关的矢量，即子空间维数为M，那么垂直于这个子空间的矢量也可形成一个子空间，其维数则为N-M，其求解方法与上面介绍的一样。对于多维空间，我们确实无法想象，因为我们所看到的都是三维、二维、一维的物体。但我们见过多维空间在三维、二维、一维上的投影。这个投影就是我们书本里见到的场的形式。以三维为例，我们无法确知山峰或山脉的形状，但可以通过等高线的方式画出地图就是三维空间到二维的投影。对于四维空间呢，比如说物体内部温度的分布，可以用温度云图表示对于五维空间呢?比如说风速，不同区域的风速大小不同，风速方向也不同，也可以用带箭头的云图表示

对于六维呢?在各项异性的物体内部，其应力的分布就是六维，因为应力不仅有方向，而且不同方向上的大小不一样，它是一种张量。对于这种云图，需要带小坐标架的云图表示，本文就不上图了。
我们可以将这种自我约束的空间称之为场，数学形式为f=f(x1,x2,x3,...,xn)f=f(x_1,x_2,x_3,...,x_n)f=f(x1,x2,x3,...,xn)
提取其中的某一维或者某几维构成场值，就可以用另一种表达式表示(y1,y2,y3,...,yk)=f(x1,x2,x3,...,xn−k)(y_1,y_2,y_3,...,y_k)=f(x_1,x_2,x_3,...,x_{n-k})(y1,y2,y3,...,yk)=f(x1,x2,x3,...,xn−k)
我们无法想象多维空间，但我们可以用其在三维、二维、一维上的投影或者说云图来形象的表示。
场的投影是云图，场伸展呢?实际上是空间的子空间，也就是从投影的还原。因此，我们可以将空间的某一个子空间称为场，只有子空间，才有约束，也因为有约束，所有肯定有某一维度或几个维度变成常数，也就是子空间。可以说子空间的概念等价于场的概念。那么某个空间的某个子空间的垂直空间我们可以称为正交场

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