第二十次csp认证第四题星际旅行题解

问题描述
试题编号： 202009-4
试题名称：星际旅行
时间限制： 1.0s
内存限制： 256.0MB
问题描述：
问题描述
在一个维欧几里得空间的宇宙中，小 A 打算完成一次星际旅行。

利用维直角坐标系，宇宙中每个点的位置都可以用维坐标来表示。其中，在宇宙中心的点（未必是坐标系原点）处，有一个半径为的超球体黑洞，任何物体若落入黑洞内部（不包括其表面）则无法逃脱。

小 A 选定了个不在黑洞内部的点
，作为他星际旅行的目标。不会有两个点处于同一位置。

为了提前做好旅行规划，小 A 希望求出这个点两两之间的最短曲线距离。同样地，这些曲线不能经过黑洞的内部。为了方便，你只需要输出每个点到其他个点的距离之和。

输入格式
第一行两个整数。

第二行一个整数。

第三行个整数，依次表示超球体黑洞的中心的每一维坐标。

接下来行，每行个整数。第行的各个整数依次表示点
的每一维坐标。

同一行内的多个整数之间用一个空格隔开。

输出格式
输出一共行，每行一个实数。第行表示第个点（
）到其他所有点的最短曲线距离之和。

请以“整数部分、小数点、小数部分”的格式输出实数，并保留不少于 12 位小数结果。采用其他格式（如科学记数法）输出可能无法得分。

样例输入1
2 3
2
3 1
5 1
1 3
3 -2
Data
样例输出1
8.83711594354348
10.83711594354348
9.39104657990738
Data
样例1说明
如下图所示，圆为二维平面上的黑洞，
为小 A 星际旅行的目标。

p7.jpg

通过在圆周上选择合适的点，可以证明，
曲线
分别为这三对点之间满足条件的最短曲线。
这些曲线的长度分别为 5.14159265358979, 5.69552328995369, 3.69552328995369。

样例输入2
3 8
1
0 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
-1 -1 0
-1 0 -1
0 -1 -1
-1 -1 -1
Data
样例输出2
14.12797001266400
14.12797001266400
14.12797001266400
17.90086240651788
13.95502966750398
13.95502966750398
13.95502966750398
14.99490548122857

这是一道几何题，只要认真分析就会发现题目本身不难。题目的测试点给出了三个维度，分别是2，3，100三个维度，乍一看维度超过三维我们人类就无法理解和感知了，其实无论是100维还是2维在数学上的处理是一样的（就本题而言）。我们以最简单的二维进行分析。
任意两个位置a,b和黑洞o的关系有以下三种：
1.a和b的连线不经过黑洞o,
o和a与b的连线的垂线h大于黑洞的半径r,这时点a和b的最短曲线距离就是a与b的直线距离（如下图所示）
要判断出现这种情况的条件，我们要先求出
高度h,可以先求出三角形oab的面积s,这里使用海伦-秦九韶公式求面积。边ab的长度为x,求出面积后，h=2*s/x.
求h的代码块如下：


```cppdouble x=sqrt(temp);  double p=(d[i]+d[j]+x)/2;double s=sqrt(p*(p-x)*(p-d[i])*(p-d[j]));//海伦-秦九韶公式double h=2*s/x;

故出现上述这种情况的条件时h>=r.
2.a与b的连线不经过黑洞o,但是a和b的延迟线经过黑洞o,此时a和b的最短曲线距离依旧时a与b的直线距离。
边oa的长度为d[i],边ob的长度为d[j],边ab的长度为x.
出现这种情况的条件时角oab为钝角或直角。
即d[i]*d[i]+d[j]d[j]<=xx;
相似的角oba为钝角或直角的情况也一样。

在程序中判断出现这两种情况的代码块如下：

if(h>=r||(x*x+d[i]*d[i]<=d[j]*d[j])||(x*x+d[j]*d[j]<=d[i]*d[i])){result[i][j]=result[j][i]=x;continue；}

3.a和b的连线经过黑洞o,如下图

其中o1为点a和黑洞的切点，o2为点b和黑洞的切点。
a和b的最短曲线距离为a o1+bo2+弧o1 o2，三段之和。
由余弦定理可求出角aob

 double angle1=acos((d[i]*d[i]+d[j]*d[j]-x*x)/(2*d[i]*d[j]));

再根据三角函数可求出角aoo1和角boo2.

double angle2=acos(r/d[i]);double angle3=acos(r/d[j]);

角aob减出角aoo1和角aoo2可得角o1 o o2记为angle.
则弧长o1 o2=angle*r.

 result[i][j]=result[j][i]=(angle1-angle2-angle3)*r+rd[i]+rd[j];

下面给出完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100+5;
const int M=2000+5;
int n,m;
double o[N],r;
double p[M][N],result[M][M];
double d[M],rd[M];
int main()
{//freopen("moyun.txt","r",stdin);cin>>n>>m>>r;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>o[i];for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=n;j++)cin>>p[i][j];for(int i=1;i<=m;i++){double temp=0;for(int j=1;j<=n;j++){temp+=(p[i][j]-o[j])*(p[i][j]-o[j]);}d[i]=sqrt(temp);rd[i]=sqrt(d[i]*d[i]-r*r);}for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=i+1;j<=m;j++){double temp=0;for(int k=1;k<=n;k++)temp+=(p[i][k]-p[j][k])*(p[i][k]-p[j][k]);double x=sqrt(temp);  double p=(d[i]+d[j]+x)/2;double s=sqrt(p*(p-x)*(p-d[i])*(p-d[j]));//海伦-秦九韶公式double h=2*s/x;if(h>=r||(x*x+d[i]*d[i]<=d[j]*d[j])||(x*x+d[j]*d[j]<=d[i]*d[i])){result[i][j]=result[j][i]=x;continue;}double angle1=acos((d[i]*d[i]+d[j]*d[j]-x*x)/(2*d[i]*d[j]));double angle2=acos(r/d[i]);double angle3=acos(r/d[j]);result[i][j]=result[j][i]=(angle1-angle2-angle3)*r+rd[i]+rd[j];}}for(int i=1;i<=m;i++){double sum=0;for(int j=1;j<=m;j++){if(i==j) continue;sum+=result[i][j];}printf("%.14f\n",sum);}return 0;
}

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