CSP认证201712-4 行车路线[C++题解]：单源最短路变型、拆点、好题！

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来源：acwing

分析：
题目给定所有答案不超过1e6，其实也就保证了连续小路的长度不超过1000（1000的平方就是1e6）。这样我们就可以在题目给定的条件下，枚举出所有连续小路的情况。比如终点n号点，通向它的可能有m个点，其中有的是小路，有的是大路，我们可以分类来处理边权。

我们用拆点来做这道题。将每个点多拆出1001个点，意思是对最后一段的路况进行分情况讨论，可能不是小路，长度是0；可能是小路，长度是2，3，…1000,很多种情况，反正题目给定最后的小路的长度不会超过1000. 而且只需要计算题目给定的数据即可。

Dist[i][j]Dist[i][j]Dist[i][j]表示从1到点i的最短距离，第二维j表示1到i点这条路径上最后那段(连接i)的小路的长度。如果1到i的路径最后那段是大路，那么j 置为0.

那最后的答案是什么呢？是dist[n][i]dist[n][i]dist[n][i]，枚举每个i从0到1000，取出最小值即可。
具体分析如下图：

这样建边的时候add函数需要考虑这条路的类型是什么，是大路还是小路。

ac代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510, M = 200010;
const int INF = 1e6;
int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int f[M];// 边的类型，大路还是小路
bool st[N][1010];
int dist[N][1010];//第二维为拆点struct Node{// 含义：点的编号，最后一段小路的长度，1到x点的最短距离int x, y, v;// 小根堆（距离从小到大）bool operator<(const Node& t)const{return v > t.v;}
};void add(int t, int a, int b, int c){e[idx] =b ,w[idx] = c, f[idx] = t,ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}void dijkstra(){memset(dist, 0x3f, sizeof dist);priority_queue<Node> heap;heap.push({1, 0, 0});dist[1][0] = 0;while(heap.size()){auto t = heap.top();heap.pop();if(st[t.x][t.y]) continue;st[t.x][t.y] = true;for(int i = h[t.x]; ~i; i= ne[i]){int x = e[i], y = t.y;//最后一段小路的长度yif(f[i]){// 小路y += w[i]; //小路长度更新if(y <= 1000){ // 小路长度不会超过1000if(dist[x][y] > t.v - t.y * t.y + y * y){// 更新1到x点的最短路dist[x][y] = t.v - t.y * t.y + y * y; if(dist[x][y] <= INF){// 加入堆heap.push({x, y, dist[x][y]});}}}}else{ // 大路if(dist[x][0] > t.v + w[i]){dist[x][0] = t.v + w[i];//权值累加if(dist[x][0] <= INF)heap.push({x,0, dist[x][0]});}}}}
}int main(){cin >> n >> m;memset(h, -1, sizeof h);while(m --){int t, a, b, c;cin >> t >> a >> b >> c;add(t, a, b, c), add(t, b, a, c);}dijkstra();int res = INF;// dist[n][i] 表示最后一段小路的长度为i的前提下，1到n的最短路// 我们通过dijkstra算法求得了合法的、最后一段是小路、但是小路长度不同的所有情况// 取min即可for(int i = 0; i <= 1000; i ++) res = min(res, dist[n][i]);cout << res << endl;
}

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https://www.acwing.com/problem/content/3258/