【OpenCV】OpenCV函数精讲之 -- 离散傅里叶变换原理

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT）指傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。

形式上，变换两端（时域和频域）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应该被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号做DFT，也应当对其经过周期延拓成为周期信号再进行变换。实际应用中，通常采用快速傅里叶变换来高效计算DFT。

简单来说，对一张图像使用傅里叶变换就是将它分解成正弦和余弦两部分，也就是将图像从空间域（spatial domain）转换到频域（frequency domain）。此转换的理论基础为：任一函数都可以表示成无数个正弦和余弦函数的和的形式。

二维图像的傅里叶变换可以用下边数学公式表达：

$F(k,l)=\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=0}^{N-1}f(i,j)e^{-i2\pi (\frac{ki}{N}+\frac{lj}{N})}e^{ix}=cosx+isinx$

其中，f是空间域（spatial domain）值，F是频域（frequency domain）值，是复数。所以显示傅里叶变换后的结果需要使用实数图像（real image）加虚数图像（complex image），或者幅度图像（magnitude image）加相位图像（phase image）的形式。

实际应用中，仅仅使用了幅度图像，因为幅度图像包含了原图像的几乎所有我们需要的几何信息。

如果想通过修改幅度图像或者相位图像的方法来间接修改原空间图像，需要使用逆傅里叶变换得到修改后的空间图像，就必须同时保留幅度图像和相位图像。

在频域里，对于一幅图像，高频部分代表了图像的细节、纹理信息；低频部分代表了图像的轮廓信息。如果对一幅精细的图像使用低通滤波器，那么滤波后的结果就只剩下轮廓了。如果图像收到的噪声敲好位于某个特定的“频率”范围内，则可以通过滤波器来回复原来的图像。

傅里叶变换在图像处理中可以得到图像增强与图像去噪、图像分割与边缘检测、图像特征提取、图像压缩等。

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