设$a<b$是实数，并设$f:[a,b]\to\mathbf{R}$是黎曼可积的，设$F:[a,b]\to\mathbf{R}$是函数$$F(x)=\int_{[a,x]}f$$如果$x\in [a,b]$且$f$在$x_0$处连续，那么$F$在$x_0$处可微并且$F'(x_0)=f(x_0)$.

证明:为简单起见，我们令$x_0\in (a,b)$.，并且令$\Delta x>0$(还剩下$\Delta x<0$的情形，以及$x_0=a$,$x_0=b$的情形，但是这些与下面的都大同小异，事实上，对于$\Delta x<0$的情形，只要下面的证明用上$\int_a^bf=-\int_b^af$就足够了),我们要证的是，
  \begin{equation}\label{eq:1}\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\int_a^{x+\Delta x}f(x)dx-\int_a^xf(x)dx}{\Delta x}\end{equation}
  存在，并且等于$f(x_0)$.

注1:当$f$在$[a,b]$连续时，\ref{eq:1}根据积分中值定理结合$f(x)$的连续性很容易得证.

设 $P=\{p_0,\cdots,p_n\}$是对$[a,x]$的一个分划，$Q=\{p_0,\cdots,p_n,\cdots,p_m\}$是对$[a,x+\Delta x]$的一个分划，$\sup_f[p_i,p_{i+1}]$表示$f$在区间$[p_i,p_{i+1}]$上的上确界，$\inf_f[p_i,p_{i+1}]$表示$f$在区间$[p_i,p_{i+1}]$上的下确界.

\begin{equation}\label{eq:8}\frac{\sum_{i=1}^{m-1}\sup_f[p_i,p_{i+1}](p_{i+1}-p_i)-\sum_{i=1}^{n-1}\sup_f[p_i,p_{i+1}](p_{i+1}-p_i)}{\Delta x}\end{equation}

\ref{eq:8}可以化为
  \begin{equation}\label{eq:angry}\frac{\sum_{i=n}^{m-1}\sup_f[p_i,p_{i+1}](p_{i+1}-p_i)}{\Delta x}\end{equation}($\sum_{i=n}^{m-1}(p_{i+1}-p_i)=\Delta x$)由于$f$在$x_0$处连续，所以对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在足够小的$\delta$，使得$(x_0-\delta,x_0+\delta)\subseteq
  [a,b]$,且$\forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)$,\begin{equation}\label{eq:naive}|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\end{equation}因此$\forall n\leq i\leq m-1$,\begin{equation}\label{eq:21_00_11}|\sup_f[p_i,p_{i+1}]-f(x_0)|\leq\varepsilon\end{equation}(为什么?)可见，

\begin{equation}\label{eq:21_00_18}(f(x_0)-\varepsilon)\Delta x \leq\sum_{i=n}^{m-1}\sup_f[p_i,p_{i+1}](p_{i+1}-p_i)\leq(f(x_0)+\varepsilon)\Delta x\end{equation}
可见，
\begin{equation}\label{eq:21_01_29}f(x_0)-\varepsilon\leq \frac{\sum_{i=n}^{m-1}\sup_f[p_i,p_{i+1}](p_{i+1}-p_i)}{\Delta x}\leq f(x_0)+\varepsilon\end{equation}
而且,当$\delta\to 0$时，$\Delta x\to 0$，$\varepsilon\to 0$，因此
\begin{equation}\label{eq:21_14_03}\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sum_{i=n}^{m-1}\sup_f[p_i,p_{i+1}](p_{i+1}-p_i)}{\Delta x}=f(x_0)
\end{equation}
同理可得
\begin{equation}\label{eq:ff}
  \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sum_{i=n}^{m-1}\inf_f[p_i,p_{i+1}](p_{i+1}-p_i)}{\Delta x}=f(x_0)
\end{equation}
根据夹逼定理，结合\ref{eq:ff}与\ref{eq:21_14_03}可得

\begin{equation}\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\int_a^{x+\Delta x}f(x)dx-\int_a^xf(x)dx}{\Delta x}=f(x_0)\end{equation}

注2:微积分第一基本定理解决了这样的一个问题:已知$f(x)$是$[a,b]$上的连续函数，求微分方程$y'=f(x)$的一个解.由微积分第一基本定理，我们可知其中的一个解为$\int_{x_0}^xf(x)dx$.其中$x_0$为任意一个合适的实数.因为$\int_{x_0}^xf(x)dx$中，积分下限并不重要，可以任取,重要的是那个变动的积分上限(为什么?).而且易得该微分方程的任意两个解之间相差的只是一个常数(为什么?)

注3:如下命题不成立:设$g:[a,b]\to\mathbf{R}$是黎曼可积的,其中$a<b$.设$G:[a,b]\to\mathbf{R}$是函数
  \begin{equation}
    G(x)=\int_{[a,x]}g
  \end{equation}
  显然,$G$在$[a,b]$上连续.若$G(x)$在$x_0$处可导,其中$x_0\in [a,b]$,则$g$在$x_0$处连续.

反例是Riemann函数.谢谢cn_EdGE.

注4:如下命题不成立: 设$g:[a,b]\to\mathbf{R}$是黎曼可积的,其中$a<b$.设$G:[a,b]\to\mathbf{R}$是函数
\begin{equation}
G(x)=\int_{[a,x]}g
\end{equation}
$G$在$[a,b]$上连续.若$G(x)$在$x_0$处可导,其中$x_0\in [a,b]$,则$g$在$x_0$处连续,或者$x_0$是$g$的可去间断点.反例见这里.