陶哲轩实分析定理17.3.8（三）

本文继承了这篇博文.

为了证明$f$在$x_0$处可微，我们只用证明，存在线性映射$T$,使得
\begin{equation}
\lim_{x'\to x_0;x'\neq x_0}\frac{f(x')-f(x_0)-T(x'-x_0)}{||x'-x_0||}=0
\end{equation}即可.

令$x'-x_0=||x'-x_0||v$,令$||x'-x_0||=t$.则我们只用证明存在线性映射$T$,使得
\begin{equation}\label{eq:2}
\lim_{t\to 0;t\neq 0}\frac{f(x_0+tv)-f(x_0)-T(tv)}{t}=0
\end{equation}
设点$x_0=(k_1,\cdots,k_n)$,根据陶哲轩实分析定理17.3.8 (二) ，我们知道,

\begin{equation}
\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t}=v_1\frac{\partial
f}{\partial k_1}(x_0)+\cdots+v_{n}\frac{\partial f}{\partial k_n}(x_0)
\end{equation}其中,$v=(v_1,\cdots,v_n)$.
我们发现，令
\begin{equation}
T=\begin{pmatrix} *&\cdots& \frac{\partial f_1}{\partial k_j}(x_0)&\cdots&*\\ *&\cdots &\frac{\partial f_2}{\partial k_j}(x_0)&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ *&\cdots&\frac{\partial f_m}{\partial k_j}(x_0)&\cdots&*\\ \end{pmatrix}
\end{equation}
即可使方程\ref{eq:2}成立，其中矩阵的第$j$列为\begin{equation} \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial
k_j}(x_0)\\ \vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial
k_j}(x_0)\\ \end{pmatrix} \end{equation}
因此存在这样的线性映射$T$.证明完毕$\Box$.

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