陶哲轩实分析定理 13.1.5

设 $(X,d_X)$ 是度量空间,并设 $(Y,d_Y)$ 是另一个度量空间.设 $f:X\to Y$是函数,那么 $f$ 是连续的可以推出

(c)只要 $V$ 是 $Y$ 中的开集,集合 $f^{-1}(V):=\{x\in X:f(x)\in V\}$ 就是 $X$ 中的开集.

\begin{proof} 为了证明 $f^{-1}(V)$ 是开集,我们只用证明对于 $f^{-1}(V)$ 中的任意一个点 $x_0$ 来说,当正实数 $\delta$ 足够小时,$B_{(X,d)}(x_0,\delta)\bigcap f^{-1}(V)$ 中的所有点在经过 $f$ 作用后都在 $V$ 中.由于 $f(x_0)\in V$,且 $V$ 是开集,且 $f$ 连续,因此这是可以办到的. \end{proof}

(d)只要 $F$ 是 $Y$ 中的闭集,集合 $f^{-1}(F):=\{x\in X:f(x)\in F\}$ 就是 $X$ 中的闭集.

\begin{proof} 即证明集合 $f^{-1}(F)$ 中的任意一个柯西列 $$ a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots $$ 都收敛到 $f^{-1}(F)$ 中.如果该柯西列收敛到 $X$ 中的一个元素 $a$,则显然$a\in f^{-1}(F)$(为什么?提示:$F$ 是 $Y$ 中的闭集).如果该柯西列不收敛到$X$ 中的元素,则不予讨论(因为是限定在 $X$ 中讨论命题).综上,$f^{-1}(F)$ 是 $X$ 中的闭集. \end{proof}

转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/03/06/3827697.html

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