搞懂矩阵的转置,矩阵的逆和伴随矩阵(一)

文章目录

矩阵和行列式的区别:
三种常见的矩阵计算
- 矩阵的转置
- 矩阵的逆
- 伴随矩阵
- - 正交矩阵
- 矩阵的计算
- - 1. 用伴随矩阵求矩阵的逆
  - 2. 用初等变换来求矩阵的逆

矩阵和行列式的区别:

即使内部元素相同,但是行列式∣1221∣\begin{vmatrix} 1&2\\ 2&1 \end{vmatrix}∣∣∣∣1221∣∣∣∣和矩阵(1221)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}(1221)所传达的信息是不一样的,具有不同的性质.
矩阵是表达系统信息(systematical information),而行列式则是一种测度,例如同样是数乘运算,矩阵的数乘要把数k乘以矩阵中的每一个元素,而行列式只需要乘某一行或者某一列即可.
矩阵可以看成由若干行(列)向量拼成的,矩阵和行列式不同,矩阵不能运算,但是其若干行(列)之间存在某种联系,这种联系反应了矩阵的本质——矩阵的秩.

三种常见的矩阵计算

矩阵的转置

定义:将一个m*n矩阵的行列互换即可得到矩阵的转置.
性质:
- (AT)T=A(A^T)^T=A(AT)T=A
- (kA)T=kAT(kA)^T=kA^T(kA)T=kAT
- ∣kA∣=k2∣A∣|kA|=k^2|A|∣kA∣=k2∣A∣
- (A+B)T=AT+BT(A+B)^T=A^T+B^T(A+B)T=AT+BT
- (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT
- 当m=n时,∣AT∣=∣A∣当m=n时,|A^T|=|A|当m=n时,∣AT∣=∣A∣

矩阵的逆

如果一个矩阵有逆,则矩阵和矩阵的逆都要是方阵
AB=BA=EAB=BA=EAB=BA=E,则称A是可逆矩阵,并且B是A的逆矩阵,而且逆矩阵是唯一的
判别方法:
- 行列式∣A∣≠0\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}\ne0∣∣A∣∣=0
- A满秩
- 组成A的n个向量线性无关

伴随矩阵

定义:将行列式|A|的代数余子式按照如下形式排列形成的矩阵叫做A的伴随矩阵,记作A∗A^*A∗:
A∗=(A11A21....An1A12A22....An2A13A23...An3..................A1nA2n....Ann)A^*=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&....&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&....&A_{n2}\\ A_{13}&A_{23}&...&A_{n3}\\ ....&.....&....&.....\\ A_{1n}&A_{2n}&....&A_{nn} \end{pmatrix}A∗=⎝⎜⎜⎜⎜⎛A11A12A13....A1nA21A22A23.....A2n...................An1An2An3.....Ann⎠⎟⎟⎟⎟⎞

伴随是按照矩阵的列排列代数余子式

正交矩阵

A是正交矩阵<=>ATA=EA^TA=EATA=E<=>A−1=ATA^{-1}=A^TA−1=AT

矩阵的计算

大概了解了矩阵的常用三种计算的概念,接下来就要进行到计算环节了,我们先从具体矩阵入手.
矩阵的转置和伴随基本都是考计算量的,我们主要来看矩阵的逆如何来求:

1. 用伴随矩阵求矩阵的逆

如果|A|可逆,即∣A∣≠0\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}\ne0∣∣A∣∣=0,并且此时A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}A^*A−1=∣A∣1A∗
此种方法只要注意好AijA_{ij}Aij的位置和正负号即可

求矩阵A=(321111101)A=\begin{pmatrix} 3&2&1\\ 1&1&1\\ 1&0&1 \end{pmatrix}A=⎝⎛311210111⎠⎞的逆矩阵:
解:∣A∣=3+2+0−1−2=2≠0,即A可逆A11=∣1101∣=1,A12=−∣1111∣=0,A13=∣1110∣=−1A21=−∣2101∣=−2,A22=∣3111∣=2,A23=−∣3210∣=−2A31=−∣2111∣=1,A32=−∣3111∣=−2,A33=∣3211∣=1故A−1=1∣A∣A∗=12(1−2102−2−121)解:|A|=3+2+0-1-2=2\ne0,即A可逆\\ A_{11}=\begin{vmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{vmatrix}=1,A_{12}=-\begin{vmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{vmatrix}=0,A_{13}=\begin{vmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{vmatrix}=-1\\ A_{21}=-\begin{vmatrix} 2&1\\ 0&1 \end{vmatrix}=-2,A_{22}=\begin{vmatrix} 3&1\\ 1&1 \end{vmatrix}=2,A_{23}=-\begin{vmatrix} 3&2\\ 1&0 \end{vmatrix}=-2\\ A_{31}=-\begin{vmatrix} 2&1\\ 1&1 \end{vmatrix}=1,A_{32}=-\begin{vmatrix} 3&1\\ 1&1 \end{vmatrix}=-2,A_{33}=\begin{vmatrix} 3&2\\ 1&1 \end{vmatrix}=1\\ 故A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&-2&1\\ 0&2&-2\\ -1&2&1 \end{pmatrix} 解:∣A∣=3+2+0−1−2=2=0,即A可逆A11=∣∣∣∣1011∣∣∣∣=1,A12=−∣∣∣∣1111∣∣∣∣=0,A13=∣∣∣∣1110∣∣∣∣=−1A21=−∣∣∣∣2011∣∣∣∣=−2,A22=∣∣∣∣3111∣∣∣∣=2,A23=−∣∣∣∣3120∣∣∣∣=−2A31=−∣∣∣∣2111∣∣∣∣=1,A32=−∣∣∣∣3111∣∣∣∣=−2,A33=∣∣∣∣3121∣∣∣∣=1故A−1=∣A∣1A∗=21⎝⎛10−1−2221−21⎠⎞

2. 用初等变换来求矩阵的逆

我们常用矩阵的初等行变换来求逆:(AE)⟶矩阵的初等行变换(EA−1)\begin{pmatrix} A&E \end{pmatrix}\longrightarrow_{矩阵的初等行变换}\begin{pmatrix} E&A^{-1} \end{pmatrix}(AE)⟶矩阵的初等行变换(EA−1)
求矩阵A=(02−1112−1−1−1)A=\begin{pmatrix} 0&2&-1\\ 1&1&2\\ -1&-1&-1 \end{pmatrix}A=⎝⎛01−121−1−12−1⎠⎞的逆矩阵:
(02−1100112010−1−1−1001)⟶(11201002−1100001011)⟶(1100−1−2020111001011)⟶(1100−1−2010121212001011)⟶(100−12−32−52010121212001011)\begin{pmatrix} 0&2&-1&1&0&0\\ 1&1&2&0&1&0\\ -1&-1&-1&0&0&1 \end{pmatrix}\longrightarrow\begin{pmatrix} 1&1&2&0&1&0\\ 0&2&-1&1&0&0\\ 0&0&1&0&1&1 \end{pmatrix}\longrightarrow\\\begin{pmatrix} 1&1&0&0&-1&-2\\ 0&2&0&1&1&1\\ 0&0&1&0&1&1 \end{pmatrix}\longrightarrow\begin{pmatrix} 1&1&0&0&-1&-2\\ 0&1&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ 0&0&1&0&1&1 \end{pmatrix}\\\longrightarrow\begin{pmatrix} 1&0&0&-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}&-\frac{5}{2}\\ 0&1&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ 0&0&1&0&1&1 \end{pmatrix}⎝⎛01−121−1−12−1100010001⎠⎞⟶⎝⎛1001202−11010101001⎠⎞⟶⎝⎛100120001010−111−211⎠⎞⟶⎝⎛1001100010210−1211−2211⎠⎞⟶⎝⎛100010001−21210−23211−25211⎠⎞所以最后求得A−1=(12−32−52121212011)A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}&-\frac{3}{2}&-\frac{5}{2}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ 0&1&1 \end{pmatrix}A−1=⎝⎛21210−23211−25211⎠⎞