DIT-FFT算法的python实现

Python实现基2-FFT

使用递归方法

from math import log, ceil, cos, sin, pi
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 这两行代码解决 plt 中文显示的问题
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falsedef fft(x, N=None):# DIT-FFT 函数说明# x: 时域序列# N: N点DFT, 理论上N=2**M# 返回值为序列x的DFTif N is None:N = len(x)elif N < len(x):N = len(x)if N == 2:return [x[0]+x[1], x[0]-x[1]]# 补0使得N=2**MM = ceil(log(N, 2))N = 2**Mx = x + [0] * (N-len(x))# 递归地计算偶数项和奇数项的DFTX1 = fft(x[0::2])X2 = fft(x[1::2])X = [0] * Nfor i in range(N//2):# 蝶形计算tmp = (cos(2*pi/N*i)-1j*sin(2*pi/N*i))*X2[i]X[i] = X1[i] + tmpX[i+N//2] = X1[i] - tmpreturn Xif __name__ == '__main__':x = [1]*10y = fft(x, 1024)# print(y)z = [abs(i) for i in y]# print(z)plt.plot(np.arange(len(z))*2/len(z), z, label='10点矩形窗函数的FFT')plt.title("幅度谱")plt.xlabel(r'单位：$\pi$')plt.ylabel(r'$|H(j\omega)|$')plt.grid(linestyle="-.")plt.legend()plt.show()

运行结果：

使用循环，流式计算（极大地节省了内存）

from math import log, ceil, cos, sin, pi
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 这两行代码解决 plt 中文显示的问题
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falsedef fft(x, N=None):# DIT-FFT 函数说明# x: 时域序列# N: N点DFT, 理论上N=2**M# 返回值为序列x的DFT"""采用流式计算方法，只用了一个N(N=2**M)点的数组内存"""if N is None:N = len(x)elif N < len(x):N = len(x)# 补0使得：N=2**MM = ceil(log(N, 2))N = 2**Mx = x + [0] * (N-len(x))fm = "{:0"+f"{M}"+"b}"X = [0] * Nfor i in range(N//2):index1 = eval('0b'+fm.format(i*2)[::-1])index2 = eval('0b'+fm.format(i*2+1)[::-1])X[2*i] = x[index1] + x[index2]X[2*i+1] = x[index1] - x[index2]for i in range(1, M):# 第i步表示将2**i点DFT合成2**(i+1)点的DFT# 蝶形宽度widthwidth = 2**i"""将X(k)序列进行分组，每组2**(i+1)个点，便于将每组中两组2**i点DFT合成一组2**(i+1)点的DFT"""# num=2*width=2**(i+1), 表示每组点数num = 2*width# 组数groupsgroups = N//numfor j in range(groups):# 对每组将2**i点DFT合成2**(i+1)=num点的DFTfor k in range(num//2):# 旋转因子W = cos(2*pi/num*k) - 1j * sin(2*pi/num*k)# 第j组第k个index = j*num + ktmp = W * X[index+width]    # 每个蝶形一次复数乘法X[index], X[index+width] = X[index]+tmp, X[index]-tmpreturn Xif __name__ == '__main__':x = [1]*10y = fft(x, 1024)# print(y)z = [abs(i) for i in y]# print(z)plt.plot(np.arange(len(z))*2/len(z), z, label='10点矩形窗函数的FFT')plt.title("幅度谱")plt.xlabel(r'单位：$\pi$')plt.ylabel(r'$|H(j\omega)|$')plt.grid(linestyle="-.")plt.legend()plt.show()

运行结果：

# 说明：建议使用第二种方法实现FFT。第一种递归的方法在递归调用时也需要一定的成本，且使用的内存较大；而第二种方法只使用了一个N(N=2**M)点的数组进行计算，内存可重用。

使用python的第三方库进行FFT

import numpy as np
from numpy.fft import fft, ifft
# from scipy.fftpack import fft, ifft
import matplotlib.pyplot as plt# 这两行代码解决 plt 中文显示的问题
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseif __name__ == '__main__':x = 2*np.sin(np.pi/2*np.arange(100))+np.sin(np.pi/5*np.arange(100))z = [abs(i) for i in fft(x, 2048)]# print(z)L = len(z)plt.plot((np.arange(L)*2/L)[:L//2], z[:L//2], label='两个不同频率正弦信号相加的DFT')plt.title("幅度谱")plt.xlabel('$\pi$')plt.ylabel('$|H(j\omega)|$')plt.grid(linestyle="-.")plt.legend()plt.show()print('max(abs(ifft(fft(x))-x)) = ', end='')print(max(abs(ifft(fft(x))-x)))

运行结果：

max(abs(ifft(fft(x))-x)) = 9.01467522361575e-16

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