离散傅里叶变换及matlab实现（按时间抽选（DIT）的基-2 FFT算法（库利-图基算法））
转，傅里叶变换，很好的解释 很好的文章，可惜水平太差，还没有完全理解。
快速傅里叶的matlab实现
按时间抽选（DIT）的基-2 FFT算法（库利-图基算法）
傅里叶要用到的nn个复数，不是随机找的，而是——把单位圆（圆心为原点、1为半径的圆）nn等分，取这nn个点（或点表示的向量）所表示的虚数，即分别以这nn个点的横坐标为实部、纵坐标为虚部，所构成的虚数。
64点傅里叶变换的matlab代码
function FFT(x)
%******************************************************
%*********按时间抽选的基2-FFT算法*******
%输入参数：x-离散时间信号
%输出参数：X-序列x的N点DFT（N是序列长度，必须是2的整数次幂）
%*******************************************************N = 64; %64点FFT N应该为一个全局变量M=log2(N);if length(x) < N x = [x; zeros(1,N-length(x))']; %若x的长度不是2的整数次幂，则补零至NendBRTable = bin2dec(fliplr(dec2bin([1:N]-1,M))) + 1; %求 1：N 序列序号的倒位序:1.将系数取二进制并对调,然后取十进制 %2.matlab的下标从1开始，需要加1X = x(BRTable); %调整x输入顺序后的序列，并作为X的初始化 WN = exp(-j*2*pi/N); %旋转因子for L = 1:M;B = 2^(L-1); %第L级中，每个蝶形的两个输入数据相聚B个点，共有B个旋转因子for J = 0:B-1; %第L级中不同的旋转因子p = J*2^(M-L); %旋转因子的指数WNp = WN^p;for k = J+1 : 2^L : N ; t = X(k+B) * WNp; %产生错误：未定义与'cell'类型的输入参数相对应的运算符‘*’-x=[]非x={}X(k+B) = X(k)-t;X(k) = X(k)+t; endendend
end离散化处理，求64点FFT（以下代码已更新，之前有几个符号写错了，天知道我是怎么工作的！！！以头抢地尔）
function Result = FFT(x, N)
x = double(x);
f = 1;
if f > 0%N = 64; %64点FFT N应该为一个全局变量M = log2(N);if length(x) < N ;x = [x zeros(1,N-length(x))]; %若x的长度不是2的整数次幂，则补零至NendBRTable = bin2dec(fliplr(dec2bin([1:N]-1,M))) + 1; %求 1：N 序列序号的倒位序:1.将系数取二进制并对调,然后取十进制 %2.matlab的下标从1开始，需要加1Xreal = x(BRTable); %调整x输入顺序后的序列，并作为X的初始化 Ximag = zeros(1,N);X = x(BRTable);WN = exp(-j*2*pi/N);for L = 1:M;B = 2^(L-1); %第L级中，每个蝶形的两个输入数据相聚B个点，共有B个旋转因子for J = 0:B-1; %第L级中不同的旋转因子p = J*2^(M-L); %旋转因子的指数WNp = WN^p;%p = p*j;for k = J+1: 2^L : N; %计算出来的包括实部和虚部 此种方法已验证正确f=0;if f>0t = X(k+B) * WNp; %产生错误：未定义与'cell'类型的输入参数相对应的运算符‘*’-x=[]非x={} X(k+B) = X(k)-t; %将公式写成指数的形式，按虚实区分X(k) = X(k)+t;else %计算出来的实部 虚部分开，正确Wncosp = cos(2*pi/N*p);Wnsinp = sin(2*pi/N*p);Treal = Xreal(k+B)*Wncosp+Ximag(k+B)*Wnsinp;Timag = Ximag(k+B)*Wncosp-Xreal(k+B)*Wnsinp;Xreal(k+B) = Xreal(k) -Treal;Ximag(k+B) = Ximag(k) -Timag;Xreal(k) = Xreal(k)+Treal;Ximag(k) = Ximag(k)+Timag;%以下C语言中应该可以
% Xreal(k+B) = Xreal(k)-Xreal(k+B)*cos(2*pi/N*p)-Ximag(k+B)*sin(2*pi/N*p);
% Ximag(k+B) = Ximag(k)+Xreal(k+B)*sin(2*pi/N*p)-Ximag(k+B)*cos(2*pi/N*p);
% Xreal(k) = Xreal(k)+Xreal(k+B)*cos(2*pi/N*p)+Ximag(k+B)*sin(2*pi/N*p);
% Ximag(k) = Ximag(k)-Xreal(k+B)*sin(2*pi/N*p)+Ximag(k+B)*cos(2*pi/N*p);%将l写成了1，以下正确
% a1 = real(X(k+B));
% a2 = real(exp(-j*2*pi/N*p));
% b1 = imag(X(k+B));
% b2 = imag(exp(-j*2*pi/N*p));
% temp =a1*a2-b1*b2+j*(a1*b2+b1*a2);
% X(k+B) = X(k)-temp;
% X(k) = X(k)+temp;
endendendend%}
elseL = ceil(log2(length(x)));N = 2^L;if length(x) < Nx = [x zeros(1,N-length(x))];end BRTable = bin2dec(fliplr(dec2bin([1:N]-1,L))) + 1;% x_rep = x(BRTable);x_rep = seq_replace(x);for l = 1:Ld = 2^(l-1);for n = 1:dfor k = n:2*d:Nk_dual = k+d;r = (k-1)*2^(L-1);a1 = real(x_rep(k_dual));a2 = real(exp(-j*2*pi/N*r));b1 = imag(x_rep(k_dual));b2 = imag(exp(-j*2*pi/N*r));temp = a1*a2-b1*b2+j*(a1*b2+b1*a2);x_rep(k_dual) = x_rep(k) -temp;x_rep(k) = x_rep(k)+temp;endendendend%求数据的模for i = 1:1:N;Rereal(i) = Xreal(i)*Xreal(i);Reimag(i) = Ximag(i)*Ximag(i);Result(i) = sqrt(Rereal(i)+Reimag(i));%fprintf('%d ',Result(i));end
end输入错一个：，写成了；,找了一小时的错误，唉
基于64点输入如下：
L = log2(N);if length(x) < Nx = [x zeros(1,N-length(x))];
end BRTable = bin2dec(fliplr(dec2bin([1:N]-1,L))) + 1;
x_rep = x(BRTable);for l = 1:Ld = 2^(l-1);for n = 1:dfor k = n:2*d:Nk_dual = k+d;r = (k-1)*2^(L-l); %这里是l,不是1a1 = real(x_rep(k_dual));a2 = real(exp(-j*2*pi/N*r));b1 = imag(x_rep(k_dual));b2 = imag(exp(-j*2*pi/N*r));temp = a1*a2-b1*b2+j*(a1*b2+b1*a2);x_rep(k_dual) = x_rep(k) -temp;x_rep(k) = x_rep(k)+temp;endend
end验证
x=[1 2 3 4 5 6 7 8];
调用 FFT(x,8)；
result =1 至 7 列36.0000 + 0.0000i -4.0000 + 9.6569i -4.0000 + 4.0000i -4.0000 + 1.6569i -4.0000 + 0.0000i -4.0000 - 1.6569i -4.0000 - 4.0000i8 列-4.0000 - 9.6569i基于64点的FFT求128点FFT
%% 128点FFT（基于以上64点）
% x：输入序列
% N：128
% X：输出序列
function X = FFT128(x,N)if length(x) < Nx = [x,zeros(1,N-length(x))];endy1 = FFT(x(1:2:128),64); %计算偶数组的64点FFTy2 = FFT(X(2:2:128),64); %计算奇数组的64点FFTwn = exp(-j*2*pi/128);X(1:64) = y1+y2.*(wn.^[0:63]);X(65:128) = y1-y2.*(wn.^[0:63]);end1.
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