深入浅出理解FFT算法。通俗易懂，xilinxIP核仿真

深入浅出理解FFT算法，通俗易懂，用xilinxIP核心仿真
1、前言：傅里叶变换：时域到频域的转换
FS连续时间周期傅里叶级数->DFS离散傅里叶级数->FT连续时间非周期信号的傅里叶变换->
DTFT离散时间傅里叶变换->DFT离散时域傅里叶变换->DFT离散频域傅里叶变换->FFT快速傅里叶变换
其中，
FS、DFS、FT都是连续信号，必须经过采样计算机才能处理
DTFT是对时间域采样，时域离散化则频域连续，对于连续的频域计算机是不能处理的

DTFT时域采样所以频率连续
DFT 是对频率域采样，频域离散化时域连续，离散的频域分量构成频谱图，计算机可以处理，DFT将离散的时间序列转化为离散的频率序列

FFT DFT的快速算法，FFT实际上就是DFT的子集，本质就是一种分治算法，利用DFT的特性，通过分治算法不断的2分、4分或者不规则分法（分裂基）极大的降低了计算量

FFT的最基础应用，频谱仪、示波器频率幅度测量—通过分析生成的频谱得到信号的频率和幅值

2、DFT与FFT原理与本质：
(1)DFT公式：

XK是频域序列，Xn是时域序列，由于e^-j2PIkn/N需要用欧拉公式展开成cosx+jsinx所以DFT是复数运算，避免不了做复数加（减）法与乘法
DFT计算量：假设现在有1024个点（n=0…1023）构成了时间序列XN，根据DFT公式，每得到一个频点XK需要1024个Xn每个去做一个复数乘法；但是还有1024个XK，这里光复数乘法的运算量就是10241024=1048576次，就是N^2次，每个复数乘法在计算机还内部不是一步到位的；计算机最小时钟单位时钟周期CLK，以4GHZ主频（clk）的计算机为例，一个时钟周期250PS，一次复数乘法估算10个时钟周期，那么一次复数乘法需要2.5ns，那么复数乘法计算需要2.62ms
但是还有复数加法，得到1个XK频点需要1024个值做加法，一共1023次；得到1024个频点需要10231024次复数加法，假设复数加法2个时钟周期，做完复数加法需要0.26ms

至此，我们用4GHZ的计算机把1024点的FFT计算完花费了约2.88ms；但是没完，计算出来的是复数，得到频点需要取模（根号下实部^2+虚部2）,然后再分析频谱得到频率，假设这里花费5ms，但是这只是低点数的DFT并且是一维的，由于是近似N^2的复数加法和复数乘法，为了点数稍微增大而提高频率、幅度测量精度，计算量会突增；而且，当DFT用于二维计算（图像矩阵）的时候计算量就是几何增长，你能忍受i9-10系的电脑处理个图像要十几秒甚至一分钟么，所以DFT要应用必须实现快速化，这就是FFT

（2）FFT
本质：分治算法
方法：基2-2分法基本4-4分法分裂基-奇数序列2分、偶数序列4分法
实现：利用Wn性质，逐级分治计算
FFT与DFT的根本问题就是围绕为什么能计算快速化？
这是FFT的根本意义
（i）FFT数学规律-WN对称性（看（i）方便理解）
因为e^-j2PIkn/N，他能展开成cosx+jsinx的形式
给你看一组数据，是我用C语言写的FFT，其中下面窗口生成的是256点的e^{-j2PIkn/N的cos部分，也就是e}-j2PIkn/N的实部

（要C代码留言就好）
观察这组数据就是按照cos变化规律来的，同理虚部jsinx按照sin规律变化
实际上cos+jsin就是一个圆，一个复平面上的园，笛卡尔的x轴就是cos，y轴就是sin

这个圆很显然具有对称性质，两个红圈就是cos+jsin和-(cos+jsin)
这就意味着e^-j2PIkn/N玩意算一半就好了，另一半取负就好了
假设某个Xk点的表达式Σxn(cos+jsin)形式，那么第1点和最中间那个点的cos+jsin不就是个公因式么？，提出来就是(x1-xn/2)(cos+jsin)的形式
得出结论相邻180度的点的值取负就好了

现在我们来认真切一下圆，找一下另外的关系

我们之前都是找的相邻180度的关系，可是相邻90度也有一个明显的关系，
根据DFT公式，我们以8点DFT为例子解析
e^-j2PIkn/N，当N=8时，n=0和n=2时分别计算，你展开后发现就是差±j，即90度
以上是对称性理解
而周期性很好理解，有个2PI怎么都消得掉
（ii）理解FFT蝶形
看完(i)后你能知道，DFT最重要的规律，即圆上点与点的规律
FFT是一种算法，你可以理解为切圆（排序）算法，只是他以一种特有的手段去切圆（排序）
在基2FFT内，这种手段就是分奇偶数切开，然后提出公因式来简化计算量;
对于基2算法而言，分出来的奇数序列和偶数序列分别计算，再重新编号分出个奇偶来继续算
重复以上步骤，直到每个小序列长度=2，剩下的这两个Xn再“内卷”

这是8点基2-DIT的蝶形图，蝶形图解析如下：
1、上面4个都是偶数，下面4个都是奇数且0-4，2-6是不是都相差180度？不就是个富豪的问题，这就是为了很好的提出公因式做了准备；
2、第一级算完又重新组合了，0-2，4-6一组，这时相邻差90度，不就是个±j的问题？而且0-2是上面4个序列的偶数排列，1-3是上面四个序列的奇数排列，2分就一直按照奇数偶数分下去
3、第二级又算完了，再分就只有2个xn了，再“内卷”就好了，2分了两次但是计算了三次，每次分都是按奇偶来的

如果还有疑惑，那么可以用数学公式理解一下，跟着箭头走向，我们算一遍：
首先，确定蝶形计算方式，

这个计算就是这样的，至于为什么这么算稍后会提到，先按照箭头走向，我们以生成的第二个频点X[1]为例计算

如图，你必须确认的是，对于X[1]而言，每个xn都参与了计算，而DFT的公式是：

Wn=e^-j2PIkn/N

频点X(1)=x(0)W8^0+x(1)W81+x(2)W8^2+x(3)W83+x(4)W8^4+x(5)W85+x(6)W8^6+x(7)W87
根据切圆的解释，我相信你能找到很多公因式，这里k=1的，如果k=2.3.4…n，有个2PI项怎么都消了，所以只要对称性理解到位了，随便化简哈；
以上是DFT干的活，那蝶形图（FFT）是怎么算出X(1)的呢？
根据箭头流水线我们写出X(1)表达式：
X(1)=
( ( x(0)-x(4)W8^0 ) + ( x(2)-x(6)W8^0 ) W8^2) + ( ( x(1)-x(5)W8^0 ) + ( x(3)-x(7)W8^0 ) W8^2)*W81
你把它展开，和DFT的结果一毛一样
但是，这么写怎么能提高运算速度呢?
之前概述说过，影响DFT运算速度的只要是复数乘法，可以在FFT中，一个蝶形就少了一个复数乘法，因为蝶形的Wn是共用的**，DFT没有这个排列，而是简单的从0加到N-1，所以可以戏称FFT你就是排了下序而已嘛，实际上它也是分治算法，每次奇数偶数分开，排列然后计算，没什么了不起的，只是一级降低一半计算量了对吧
第一次二分，提出公因式
第二次四分，提出公因式
第三次八分，提出公因式
一级减少一半，那么三级就降到8分之1了，是M级数1/2的关系，有N个点，就是NM/2个复数乘法
而复数加法，一个蝶形是两个复数加法，是复数乘法的两倍MN，也远远低于N*（N-1）
（N比较大时）

（iii）理解把序列排回来（Rader算法-雷德算法-逆位序算法）
首先你看看基2FFT-DIT和DIF的8点蝶形

DIF

DIT

你有没有发现DIT输入乱序（按照奇数偶数排序），DIF输出乱序（按照奇数偶数排列），两个蝶形也长得很像压？其实没什么区别，所谓乱序就是按奇数偶数排了后继续分而已
但是这里有个逆序数规律
首先列出0-7二进制码这边是逆序后的二进制码
000 000
001 100
010 010
011 110
100 001
101 101
110 011
111 111
左边是二进制数从左往右读，右边是二进制从右往左看，你会发现进制数是一样的，颇有计算机中大端模式小端模式的意思，通过这个规律，很容易的能转化成我们要的顺序排列数据
3.FFT在不同运算单元上的对比****（为什么要使用FPGA运算FFT?）**
（1）FFT在CPU/单片机上的运行
之前介绍过，我这有一份C语言的FFT运行代码，在计算机上运行，我们评估一下计算量

由于CPU核是一个周期一个周期的计算即串行运行，所以呀，FFT算法在CPU/单片机上运行是标准的
复数乘法:MN
复数加法:MN/2

（2）FFT在FPGA上的运行
FPGA是纯逻辑器件，可以并行运行

对于8点DIF的蝶形图，FPGA可以做到一个时钟周期将一级FFT算完，因为逻辑单元可以并行置入数据、计算，输出第一级结果;比如一个3输入数字电路与门，它可以ABC同时变化，对于单片机/CPU，只能先A B两个数运算，一个一个来，而FPGA最快可以一级一级来

对于FFT，一般最大级数不会超过20，意味这FPGA 20个时钟周期给你干完（这里就有点零延迟的味道了），单片机要几千甚至上万个周期，相同系统主频下，运算速度差异非常明显

（3）FPGA面积与速度的相互约束——流水线方式和普通的级联方式
FPGA内部逻辑单元不是无限的，例如你需要做4096点的基2FFT，如果要同时计算，那么每一级的每个蝶形需要一个复数乘法器和一个复数加法器，需要的资源是非常恐怖的，而且FPGA资源与芯片价格成正比，根据资源和功能的不同价格在几十到百万不等，需要的资源多价格就会非常贵；
如果你使用普通的级联方式，可以只用一个复数乘法器和一个复数加法器就解决问题，但是同样频率下这样速度和CPU有什么区别呢
这样就形成了一对矛盾，面积（资源）与速度的矛盾，想要快速，资源必然用的多，想要节省开支，必然影响速度
（流水线方式是所谓零延时的重要手段你自己补充，重在理解我不过多赘述）

4.XilinxISE环境下FFT IP核的介绍与使用（IP核自己扯一下）
IP核折衷了速度与面积，使用这可以在一定范围内可以选择速度和面积
这里对XilinxISE环境下的FFT IP核做简要介绍：
首先，FFT是复数输入复数输出，所以输入输出加起来至少4个，我们使用单通道即一次时钟周期置入一次数据
IP核生成的RTL图如下：

Xn是输入，分re实部核im虚部，clk是时钟，fwd和start相关是一些控制是能信号
Xk是输出，也分re和im，只是输入输出位宽不一样，其余的是一些状态信号，具体内容见下表

IP核也可以配置，这里配置成256点，单通道StreamingIO（流水线方式—最快）

他需要600个周期算完

这与CPU相比，用的时钟周期是较低的了，基本上是最快的配置方式
配置好IP核后，进行verilog顶层例化然后综合仿真就可以了

5.XilinxISE IP核 FFT仿真波形图

Test文件主代码，即在256点内构造一段斜坡让IP核去做变换，alway内是敏感信号表也是一个进程，增加到32关使能，等待结果就好了，在实际应用中，输入带虚部的较少，你自己可以去掉虚部
波形结果：

当start信号=0时，将仿真出的Xk数据导出就可以了

本人对于FFT的浅显理解，希望能对你有帮助!

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