组合数学（四）生成排列和组合
文章目录
- 全排列的生成
- 序数法
- 字典序法
- 回溯法
- 插入法
- JohnsonTrott算法（换位法）
全排列的生成
利用LeetCode46题全排列来验证一下是否正确
序数法
这个方法把n!个排列与0n!-1之间的数一一对应起来，这样，我们就可以按照0n!-1的次序，逐一生成相关的排列。这个对应的关键在于0~n!-1之间的数m，可以用如下的方式表示： m=an−1⋅(n−1)!+an−2⋅(n−2)!+…+a1⋅1!,其中0≤ai≤i0≤ai≤i，
故m对应序列(an−1,an−2,…a1)，现在再把这个序列和排列一一对应起来，n-1位的序列对应n位的排列。
aiai 表示排列p中的数i+1所在位置的右边比它小的数的个数。比如对于排列p=4213，4,3,2的逆序数分别为3，0，1，由此对应为(a2,a1,a0)(a2,a1,a0)，反过来呢，如果知道了逆序数(a2,a1,a0)==(3,0,1),也可以一一恢复出排列来。比4小的有3个，4只能放最左边，比3小的为0个，3只能放最右边，比2小的一个，2放第二个位置，剩下的放1，故为4213。
| N | a3a2a1 | p1p2p3p4 | N | a3a2a1 | p1p2p3p4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 000 | 1234 | 12 | 200 | 1423 |
| 1 | 001 | 2134 | 13 | 201 | 2413 |
| 2 | 010 | 1324 | 14 | 210 | 1432 |
| 3 | 011 | 2314 | 15 | 211 | 2431 |
| 4 | 020 | 3124 | 16 | 220 | 3412 |
| 5 | 021 | 3214 | 17 | 221 | 3421 |
| 6 | 100 | 1243 | 18 | 300 | 4123 |
| 7 | 101 | 2143 | 19 | 301 | 4213 |
| 8 | 110 | 1342 | 20 | 310 | 4132 |
| 9 | 111 | 2341 | 21 | 311 | 4231 |
| 10 | 120 | 3142 | 22 | 320 | 4312 |
| 11 | 121 | 3241 | 23 | 321 | 4321 |
class Solution {
public:int setPosition(vector<int>& permutation, int count, int num, int flag, int zeroposition){int zeros = 0;if(flag == 1){for(int i = permutation.size()-1;i>=0;i--){if(permutation[i]==0&&i!=zeroposition) zeros++;if(zeros == count +1){permutation[i] = num;if(num == 0) return i;else return -1;}}}for(int i = permutation.size()-1;i>=0;i--){if(permutation[i]==0) zeros++;if(zeros == count +1){permutation[i] = num;if(num == 0) return i;else return -1;}}return -1;}vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<vector<int>> ans;if(n<=0) return ans;vector<int> facorials(n+1);facorials[0] = 1;for(int i = 1;i<=n;i++) facorials[i] = i * facorials[i-1];sort(nums.begin(),nums.end());int position, wuyong;for(int m = 0;m<facorials[n];m++){int remainder = m;vector<int> permutation(n);int flag = 0;for(int i = n-1;i>=0;i--){ int count = remainder / facorials[i];remainder = remainder % facorials[i];if(nums[i] == 0){ // 判断是否是0的原因是如果不判断会把放好的0当做没放东西，所以要根据是否放了0来做出一点小小的改变flag = 1;position = setPosition(permutation, count, nums[i], 0, -1);continue;}if(flag == 1) wuyong = setPosition(permutation, count, nums[i], flag, position);else wuyong = setPosition(permutation, count, nums[i], 0, -1);}ans.push_back(permutation);}return ans;}
};
字典序法
字典序生成法在当前已经生成的排列上寻找下一个字典序的排列：
- 找到最长的递减序列后缀，记这个序列的前一个元素为i，如果找不到i，则证明已经生成了最后一个完全倒序的排列，生成完毕。
- 在前述后缀中，找到比元素i大的最小元素j，并交换i和j；
- 将后缀逆序排列。
- 重复1到3。
比如排列123654，首先找到后缀654，在找到中间最小大于3的4，交换得到124653，然后将后缀逆序得到124356,又如排列123645，找到后缀5，交换得到123654，后缀只有一个，逆序后不变仍为123654。
class Solution {
public:int jieche(int n){if(n==1) return 1;return n*jieche(n-1);}vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<vector<int>> ans;if(n<=0) return ans;sort(nums.begin(),nums.end());ans.push_back(nums);int cishu = jieche(n);for(int p = 1;p<=cishu;p++){int x = ans.size();vector<int> last = ans[x-1];int i = n - 1;while(i > 0){if(last[i] > last[i-1]) break;i--;}if(i==0) break;int j = n - 1;while(j>=i){if(last[j]>last[i-1]) break;j--;}swap(last[i-1],last[j]);int k = n-1;while(i<k){swap(last[i],last[k]);i++;k--;}ans.push_back(last);}return ans;}
};
利用LeetCode测试[1,2,3,4]结果如下
[[1,2,3,4],[1,2,4,3],[1,3,2,4],[1,3,4,2],[1,4,2,3],[1,4,3,2],[2,1,3,4],[2,1,4,3],[2,3,1,4],[2,3,4,1],[2,4,1,3],[2,4,3,1],[3,1,2,4],[3,1,4,2],[3,2,1,4],[3,2,4,1],[3,4,1,2],[3,4,2,1],[4,1,2,3],[4,1,3,2],[4,2,1,3],[4,2,3,1],[4,3,1,2],[4,3,2,1]][[1,2,3,4],[1,2,4,3],[1,3,2,4],[1,3,4,2],[1,4,3,2],[1,4,2,3],[2,1,3,4],[2,1,4,3],[2,3,1,4],[2,3,4,1],[2,4,3,1],[2,4,1,3],[3,2,1,4],[3,2,4,1],[3,1,2,4],[3,1,4,2],[3,4,1,2],[3,4,2,1],[4,2,3,1],[4,2,1,3],[4,3,2,1],[4,3,1,2],[4,1,3,2],[4,1,2,3]]
可见结果正确
回溯法
这个方法比较简单，LeetCode上写的也比较多了，我就直接放一下代码就好了
class Solution {void backtrack(vector<vector<int>>& ans, vector<int>& output, int begin, int length){if(begin == length){ans.emplace_back(output);return;}for(int i = begin; i < length; i++){swap(output[i],output[begin]);backtrack(ans, output, begin+1, length);swap(output[i],output[begin]);}}
public:vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {vector<vector<int>> ans;backtrack(ans, nums, 0, nums.size());return ans;}
};
插入法
JohnsonTrott算法（换位法）
p.s. 还挖了两个坑到时候填hhh
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