组合数学 ch4 生成排列和组合

1、生成排列

n个正整数组成的集合{1，2，...,n}有n!个排列

如何生成全排列？

组合数学新算法：交错插入法。

简单来说，一次次生成{1}到{1，2}到{1，2....n}所有的排列，用当前排列生成下一个排列。具体操作是：

给定一个整数，我们赋予它一个方向(direction)，即在这个整数的上方画出一个指向右或指向左的箭头或。考虑{1，2，...，n}的一个排列，其中的每一个整数都给定一个方向。如果一个整数k的箭头指向一个与其相邻但比它要小的整数，那么称这个整数k是可移动的(mobile)。

生成{1，2，...n}的排列的算法

以{1，2，...，n}开始：

当存在1个可移动整数时，完成以下事情：

（1）找到最大的移动整数m。

（2）交换m和它的箭头所指向的与它相邻的整数。

（3）将所有满足p>m的整数p上的方向切换方向（改变p箭头方向）。如图

因为2134没有可移动数算法终止。

2、排列中的逆序

举个例子：31524逆序列为12010 无序程度为4

算法1：

n：把n写下来。

n-1：考虑b_{n-1} ,我们知道0⩽b_{n-1}⩽1 ，如果b_{n-1}=0 ，那么n-1 必须放在n 之前。如果b_{n-1}=1 ，那么n-1 必须放在n 之后。

n-2：考虑bn-2如果bn-2=0，则n-2必须放在步骤n-1的两个数字之前。如果bn-2=1，则n-1必须放在两个数字之间。如果为2，n-2必须放在由步骤n-1得到两个数的后面。

3、生成组合

1）二进制数法：n元集合组合与长度为 n 的二进制数一一对应

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