模拟退火算法介绍及matlab实现

参数
- 待求解参数维度：D
- x i L x_{\text{i}}^L xiL, x i U x_{\text{i}}^U xiU：待求解参数的上下限
- L：每一温度下的迭代次数
- α \alpha α：温度递增系数 T ( k + 1 ) = α ⋅ T ( k ) T(k+1)=\alpha\cdot T(k) T(k+1)=α⋅T(k)
- T0：初始温度
- Error_Thre：代价函数阈值（代价函数小于（大于）该值时，停止迭代）
- K：Metropolis准则系数
算法流程
1. 参数初始化
  x i ( 0 ) = x i L + r a n d ( 0 , 1 ) ⋅ ( x i U − x i L ) x_{\text{i}}(0)=x_{\text{i}}^L+rand(0,1)\cdot(x_{\text{i}}^U-x_{\text{i}}^L) xi(0)=xiL+rand(0,1)⋅(xiU−xiL)
2. 搜索（现有解随机增减）
  { Y = { y 1 , y 2 , ⋯ , y D } ; z i = y i y 1 2 + y 2 2 + ⋯ + y D 2 ; X ( K + 1 ) = X ( K ) + T ( K + 1 ) ⋅ Z \left\{ \begin{array}{l} Y = \{y_1,y_2,\cdots,y_D\};\\ z_\text{i}=\displaystyle\frac{y_\text{i}}{\sqrt{y_1^2+y_2^2+\cdots+y_\text{D}^2}};\\ X(K+1)=X(K)+T(K+1)\cdot Z \end{array} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧Y={y1,y2,⋯,yD};zi=y12+y22+⋯+yD2 yi;X(K+1)=X(K)+T(K+1)⋅Z
3. 判断优劣判断当前解与现存最优解
  1. ⟹ \Longrightarrow ⟹当前解更好，当前解替代现存最优解；
  2. ⟹ \Longrightarrow ⟹当前解不好，按照Metropolis准则迭代替换；
    - Metropolis： P = e − Δ C K T \displaystyle P=\displaystyle e^{-\frac{\Delta C}{KT}} P=e−KTΔC Δ C \Delta C ΔC为当前解和上一次解目标函数的差值
    - 按照P所示的概率来决定当前解是否保留
      - 保留：上一次解替换为当前解
      - 不保留：上一次解保留
4. 判断迭代条件是否完成
  
  温度是否足够低 or 目标函数最后小（大）；
流程总结

6.示例代码

clear
close all
clcD = 10;
X_Min = -20;
X_Max = 20;
L = 500; % 每一个温度下的迭代次数
alpha = 0.998; % T_Next = T_Current*h
S0 = 10; % 变异算子
T0 = 10000; % 初始温度
T = T0;
error_Thre = 1e-8; % 代价函数阈值
T_Thre = 0.001;
K = 0.6; % Metropolis准则系数% 迭代次数初始化
iter = 1;
iter_Max = log(T_Thre/T0)/log(alpha);
% iter_Max = T0/T_Thre;% 参数初始化
Current_X = rand(1, D) .* (X_Max - X_Min) + X_Min;
Current_X_Fitness = Fitness(Current_X);
Pre_X = Current_X;
Pre_X_Fitness = Current_X_Fitness;
Best_X = Current_X;
MinFitness_List = zeros(1,floor(iter_Max)+100);
MinFitness_List(1) = Fitness(Best_X);
Fitness_List = zeros(1,floor(iter_Max)+100);
Fitness_List(1) = MinFitness_List(1);% 与进度条有关的东西
waitbarinter = iter_Max/100;
tic
h = waitbar(0, ['已完成:0%   运算中...用时:', num2str(toc)]);while (MinFitness_List(iter) > error_Thre) && (T > T_Thre)iter = iter+1;% 1.简易模拟退火T = alpha * T;% % 2. 经典模拟退火% T = T0/log10(iter);% % 3. 快速模拟退火% T = T0/(iter);% 在当前温度T下的迭代% 当前温度下最优解的初始化Fitness_temp = 0;X_temp = zeros(1,D);for i = 1:L% 随机生成新的解N_temp = randn(1,D);P_temp = N_temp/sqrt(sum(N_temp.^2));Current_X = Pre_X + T*P_temp;% 边界限制    防止解过大或过小Current_X = BoundaryLimit(Current_X, X_Min, X_Max);Current_X_Fitness = Fitness(Current_X);% 更新当前温度下的最优解if i == 1Fitness_temp = Current_X_Fitness;X_temp = Current_X;elseif Current_X_Fitness < Fitness_tempFitness_temp = Current_X_Fitness;X_temp = Current_X;endend% 判断当前解与最优解以及上一解的大小关系if Pre_X_Fitness <= Current_X_Fitness% 当前解不如上一次解   Metropolis准则，减小局部最优解的可能P = exp(-1 * (Current_X_Fitness - Pre_X_Fitness) / K / T);if P > randPre_X = Current_X;Pre_X_Fitness = Current_X_Fitness;end% 当前解比上一次解好elsePre_X = Current_X;Pre_X_Fitness = Current_X_Fitness;endend% 更新全局最优解if MinFitness_List(iter-1) > Fitness_tempMinFitness_List(iter) = Fitness_temp;Best_X = X_temp;elseMinFitness_List(iter) = MinFitness_List(iter-1);end% 将每个温度下的最优解都存储起来Fitness_List(iter) = Fitness_temp;% 进度条if mod(iter, waitbarinter) <1waitbar(iter / iter_Max, h, ['已完成:' num2str(iter / iter_Max * 100) ...'%   运算中...用时:', num2str(toc),'/',num2str(toc/iter * iter_Max)])end
end
close(h)% 结果文字展示
display(['The best solution obtained by SA is : ', num2str(Best_X)]);
display(['The best optimal value of the objective funciton found by SA is : ', num2str(MinFitness_List(iter))]);% 结果图像展示
figure
semilogy(MinFitness_List(1:iter),'linewidth',1.2)
hold on
semilogy(Fitness_List(1:iter),'linewidth',1.2)
legend(['最小适应度变化'],['适应度变化'])
title('Convergence Curve')
xlabel('Iteration');
ylabel('Best score obtained so far');
axis tight
grid on
box on% 目标函数
function result = Fitness(x)result = sum(x.^2);
end% 边界限制函数
function result = BoundaryLimit(X, Min, Max)for i_temp = 1:length(X)if X(i_temp) > MaxX(i_temp) = Max;endif X(i_temp) < MinX(i_temp) = Min;endendresult = X;
end

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