【线性系统】六、能控性和能观性

能控性是指状态空间方程能否能通过改变输入来控制。

能观性是指是否能通过输出来观察系统的初始状态。

能控性

n维p输入方程 $\dot x = Ax+Bu$

$A$ 为 $p\times p$ ， $B$ 为 $n\times p$ 的实矩阵。因为输出在能控性上不重要，所以在考虑能控性时进行忽略。

定义：状态方程或 $(A,B)$ 对为能控的，当所有初始状态 $x(0) = x_0$ 和所有最终状态 $x_1$ ，存在输入能在有限时间内实现从 $x_0$ 到 $x_1$ 的转变。否则系统不能控。

定理：（以下这些性质是等效的）

1. n维对 $(A,B)$ 是可控的。

2. $n\times n$ 矩阵

$W_c(t) = \int_{0}^{t}e^{A\tau}B{B}'e^{{A}'\tau}d\tau = \int_{0}^{t}e^A(t-\tau)B{B}'e^{{A}'(t-\tau)}d\tau$ 对所有 $t> 0$

3. $n\times np$ 控制矩阵

$C = [B AB A^2B \cdots A^{n-1}B]$ 行满秩。

4. $n\times (n+p)$ 矩阵 $[A-\lambda I B]$ 对每个特征值行满秩（A的所有 $\lambda$ ）。

5. 如果所有特正都有负实部，那么唯一值 $AW_c+W_c{A}' = -B{B}'$ 是半正定的。它的解被称为能控性gramian矩阵。可被表示为 $W_c = \int_{0}^{\infty}e^{A\tau}B{B}'e^{{A}'\tau}d\tau$ 。

例一：

状态方程：

$\dot x = \begin{bmatrix} 0 &1 & 0 &0 \\ 0 & 0& -1&0 \\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 5& 0 \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\-2 \end{bmatrix}u$

$y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}x$

通过计算： $C = [B AB A^2B A^3B] = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 2\\ 1& 0& 2 & 0\\ 0& -2 & 0 &-10 \\ -2& 0& -10 &0 \end{bmatrix}$

这个矩阵的秩是4，所以系统是可控的。

例二：

状态方程：

$\dot x = \begin{bmatrix} -0.5 &0 \\ 0& -1 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0.5\\1 \end{bmatrix}u$

$\rho ([B AB]) = \rho \begin{bmatrix} 0.5 & -0.25\\ 1& -1 \end{bmatrix} = 2$ 所以方程可控。

定理二：

可控性在等效变换后是不会改变的。

定理三：

经过等效变换或者，对B的列的重新排序，可控性indicies是不变的。

能观性

如果说能控性是指通过输入来控制状态的可能性，那么能观性则是指通过输出来估计系统输入的可能性。

考虑n维p输入q输出的状态方程：

$\dot x = Ax+Bu$

$y = Cx+Du$

定义：

状态方程是能观的，当对于任何初始状态 $x(0)$ , 存在一个有限的 $t_1>0$ 使在[0,t1]的输入u和输出y能够反映出唯一的初始状态 $x(0)$ 。

定理：(每一条等效)

1. n维对 $(A,C)$ 是能观的；

2. $n\times n$ 矩阵 $W_0(t) = \int_{0}^{t}e^{{A}'\tau}{C}'Ce^{A\tau}d\tau$ 对所有 $t>0$ 非奇异;

3. $n\times nq$ 能观矩阵 $O = \begin{bmatrix} C\\ CA\\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}$ 列满秩，秩等于n。

4. $(n+q)\times n$ 矩阵 $\begin{bmatrix} A-\lambda I\\ C \end{bmatrix}$ 对所有特征值满秩。

5. 。。。

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