高斯消去法(python实现)

2024-04-06 15:03:38

高斯消去法

已知：Aϕ=bA\phi=bAϕ=b

向前消去：

第i行的系数减去第一行的系数乘以ai1a11\frac{a_{i1}}{a_{11}}a11ai1,消去第i行的ϕ1\phi_1ϕ1,重复操作，将A处理为一个上三角矩阵。伪代码如下：

for k = 1 to N-1
{for i = k + 1 to N  //从第二行开始计算{ratio = a_ik/a_kk{for j = k to N   // 从第k列开始a_ij = a_ij - ratio * a_kj}b_i = b_i - ratio * b_k}
}

向后回带

消去完毕后的矩阵方程可以通过回带的方式求解ϕi\phi_iϕi,如第N个方程只有一个未知量ϕN\phi_NϕN,可以直接计算得到：
ϕN=bNN−1aNNN−1\phi_N=\frac{b_N^{N-1}}{a_{NN}^{N-1}} ϕN=aNNN−1bNN−1
ϕN−1\phi_{N-1}ϕN−1可以通过ϕN\phi_NϕN的值计算得到：
ϕN−1=bN−1N−2−a(N−1)NN−2ϕNa(N−1)(N−1)N−2\phi_{N-1}=\frac{b_{N-1}^{N-2}-a_{(N-1)N}^{N-2}\phi_N}{a_{(N-1)(N-1)}^{N-2}} ϕN−1=a(N−1)(N−1)N−2bN−1N−2−a(N−1)NN−2ϕN
以此类推：
ϕi=bii−1−∑j=i+1Naiji−1ϕjaiii−1\phi_i = \frac{b_i^{i-1}-\sum_{j=i+1}^Na_{ij}^{i-1}\phi_j}{a_{ii}^{i-1}} ϕi=aiii−1bii−1−∑j=i+1Naiji−1ϕj
伪代码如下：

phi_N = b_N / a_NN
for i = N-1 to 1
{term = 0for j = i+1 to N{term = term + a_ij * phi_j}phi_i = (b_i - term) / a_ii
}

最终的python实现：

import numpy as np
if __name__ == '__main__':A = [[2, -1, 3, 2],[3, -3, 3, 2],[3, -1, -1, 2],[3, -1, 3, -1]]B = [6, 5, 3, 4]A = np.array(A).astype(float)B = np.array(B).astype(float)for k in range(A.shape[0]-1): # 0-n-1行for i in range(k+1, A.shape[0]): # k+1 - n 行ratio = A[i][k] / A[k][k]for j in range(k, A.shape[1]): # k - n 列A[i][j] = A[i][j] - ratio * A[k][j]B[i] = B[i] - ratio * B[k]print(A)print(B.size)n = B.size-1phi = np.zeros(B.size)phi[n] = B[n] / A[n][n]for i in range(n-1, -1, -1):term = 0for j in range(i+1, n+1): # i+1 - B.sizeterm = term + A[i][j] * phi[j]phi[i] = (B[i]-term) / A[i][i]print(phi) # [1 1 1 1]

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