雷志辉等对双频外差进行了改进，比较两个展开相位之间的误差来判断是否产生跳变，只适用于两频外差。
陈玲等对三频外差进了的改进，通过展开的相位与其相邻的相位进行比较进而判断是否发生相位跳变，这失去了每个点的独立性。
陈松林等对多频外差进行了改进，得到了很好的展开相位，但第三种光栅频率太低，对复杂形面分辨能力稍微不足。
刘飞等利用了全频信息，通过额外约束条件有效抑制了相位跳变。
黄亚楠等通过相邻10个像素点来抑制条纹级数跳变，如果存在阴影则相位矫正会受限，这些方法存在一些局限。

对多频外差进行改进

一、误差原因：

《时间相位解包裹算法仿真与实验研究》-李忠虎王露玲

《基于多频外差的全频解相方法》刘飞等 2018-1-14

分别向被测物表面投影节距为p1、p2、p3的正弦光栅1、光栅2、光栅3。光栅12由光栅1与光栅2叠加产生,光栅23由光栅2与光栅3叠加产生
有以下公式：
式中p12和p23分别表示光栅12和光栅23的节距, ni表示被测物表面某点在对应光栅图中的条纹级数, ni包含整数部分Ni和小数部分Δni, φi表示对应光栅的包裹相位, i表示对应光栅的绝对相位。光栅123由光栅12与光栅23叠加产生, 选择合适的p1、p2、p3使得光栅123的条纹节距p123覆盖全场, 此时N123=0。
(1)包裹相位之间：

(2)条纹级数的小数部分之间：

(3)光栅节距之间：

(4)计算方法：

误差分析

当Δn1和Δn2接近或Δn2和Δn3接近时, 极小的误差使Δn12、Δn23产生0到1的跳跃性误差，其中图 (a) 横坐标677～687pixel。
求解Δn123同理, 图 (b) 横坐标0～50pixel和950～1024pixel, 由于Δn12和Δn23只在光栅最左侧和最右侧互相接近, 因此需要避免被测物位于投影的条纹光栅两端

当Δn123出现非0到1跳跃性误差时, 由于p23/ (p23-p12) >1, 因此该误差被放大, 使得n12求解不准确；当该区域处于上一级条纹向下一级条纹过渡的区域, 即n12接近整数时, 由于floor向下取整的特性, 使得N12出现值为1的跳跃性误差, 如图2 © 横坐标300～390pixel

分析 (7) 式可知, 当N12出现跳跃性误差时, 即Δn12出现0到1的跳跃性误差时, 由于乘以一个大于1的系数, 因此该误差被大幅度放大, 使用floor函数求解N1将产生较大的整数跳跃性误差, 最终使φ1产生n×2π跳跃性误差, 如图2 (d) 像素坐标200pixel附近。当N12无跳跃性误差时, 即Δn12无0到1的跳跃性误差时, p2/ (p2-p1) 将放大Δn12的非跳跃性误差, 若误差放大后求得的n1接近整数, floor函数将求得错误的N1, 该值与理论值相差1, 最终使φ1产生2π跳跃性误差, 如图2 (d) 像素坐标410～440pixel。

处理方法

误差分析

采用条纹周期数确定节距, 节距pi与对应的条纹周期数Ki有如下关系:

式中K1、K2、K3分别为光栅图1、2、3的周期数, 当光栅横向排列时hpixel为光栅的横向分辨率。为使得叠加光栅覆盖全场, 有如下关系:

使用标准四步相移法求解的包裹相位存在四倍频的相位误差, 该相位误差主要来源于相机，该相位误差主要来源于相机和投影仪等的非线性影响, 且该误差与条纹节距大小无关[19]。因此, 设φ1、φ2、φ3中最大的非线性误差为φerror, 则φ12、φ23、φ123的最大非线性误差分别为2φerror、2φerror、4φerror, Δn12、Δn23、Δn123的最大非线性误差分别为φerror/π、φerror/π、2φerror/π。该方法在使用 (11) 式计算φ12时, 由 (15) 和 (16) 式可知, 实际的绝对相位为

当 (2 K1-2 K2-1) ×φerror/π<0.5时, 即当K1-K2<π/4φerror+0.5时, (11) 式能较好地抑制叠加光栅12的绝对相位误差, 使其最大的相位误差为2φerror, 无2π的跳跃性误差。同理可得, 当K2-K3<π/4φerror+0.5时, (12) 式能较好地抑制叠加光栅23的绝对相位误差, 使其绝对相位误差最大为2φerror, 无2π的跳跃性误差。

根据 (13) 、 (15) 和 (16) 式计算可知, 实际的绝对相位为

式中Nindex和Nerror分别表示为

式中φerror＿1、φerror＿2、φerror＿3分别表示光栅1、光栅2和光栅3的包裹相位误差, 且三种光栅的最大包裹相位误差均为φerror。由于Nindex计算过程中φ12、φ23同时包含光栅2的误差, 且两个φerror＿2符号相反, 因此不能直接带入2φerror。 (18) 式中Nindex求解结果为精确的非负整数Nj, j=1, 2, 3, 因此, 当Nerror<0.5时, i的最大非线性误差为φerror, 根据 (16) 和 (20) 式可得:

综上所述, 为保证绝对相位无跳跃性误差, 需要满足如下约束:

第一个不等式保证了虚拟光栅12和虚拟光栅23的最大非线性误差均不超过2φerr
综上所述, 为保证绝对相位无跳跃性误差, 需要满足如下约束:

第一个不等式保证了虚拟光栅12和虚拟光栅23的最大非线性误差均不超过2φerror, 第二、三个不等式保证最终合成的光栅全场唯一, 最后一个不等式保证最终绝对相位的最大非线性误差均不超过φerror。值得注意的是, 使用标准四使用标准四步相移法求解包裹相位, 如果不进行伽马校正, 则其最大的相位误差约为0.08rad[9, 18]。

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