数论知识(2)-------------欧拉函数
欧拉函数:一个整数n,小于且和n互质的正整数的个数(包含1)的个数,用φ(n)表示。
完全余数集合:欧拉函数中与n互质的数字的集合.
~~~~~~~~~~~~~~
性质:
如果n是素数,则 φ(n)=n-1;
求一个数n的所有互素和 sum=φ(n)*n/2; <==这个性质,很有用。
欧拉定理 :
对于互质的正整数 a 和 n ,有 aφ(n) ≡ 1 mod n 。
费马定理 :
若正整数 a 与素数 p 互质,则有 ap - 1 ≡ 1 mod p 。
证明这个定理非常简单,由于 φ(p) = p -1,代入欧拉定理即可证明。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
补充欧拉公式:
1. pk 的欧拉函数
对于给定的一个素数 p , φ(p) = p -1。则对于正整数 n = pk ,
φ(n) = pk - pk -1
2. p * q 的欧拉函数
假设 p, q是两个互质的正整数,则 p * q 的欧拉函数为
φ(p * q) = φ(p) * φ(q) , gcd(p, q) = 1 。
3.任意正整数的欧拉函数
φ(n) =n*(1-1/k1)*(1-1/k2)*......*(1-1/km);
k1,k2...km是n的素数因子
________________________________________
欧拉单点求值
1 int Euler(int n) 2 { 3 int temp=n,i; 4 for(i=2;i*i<=n;i++) 5 { 6 if(n%i==0) 7 { 8 while(n%i==0) 9 n=n/i; 10 temp=temp/i*(i-1); 11 } 12 } 13 if(n!=1) temp=temp/n*(n-1); 14 return temp; 15 }
欧拉函数打表
1 void Euler() //欧拉打表。 2 { 3 int i,j; 4 for(i=2;i<=3000000;i++) 5 opl[i]=i; 6 opl[1]=0; 7 8 for(i=2;i<=3000000;i++) 9 if(s[i]==false) 10 { 11 for(j=i;j<=3000000;j=j+i) 12 { 13 opl[j]=opl[j]/i*(i-1); 14 s[j]=true; 15 } 16 } 17 }
还有一种是素数和欧拉表分开的,速度更快。在欧拉题目里有。
转载于:https://www.cnblogs.com/tom987690183/p/3242668.html
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