不论是不是内心, 一个点到三边的距离都是垂线段的长度, 相互之间不能直接比较.

正确的结论是这样的: ①若三角形不等腰,

则平面上到三边距离和最小的点是最大内角的顶点. ②若三角形等腰, 而底边大于腰, 则到三边距离和最小的点是顶角的顶点. ③若三角形等腰, 而底边小于腰,

则底边上(内部和端点)任意一点到三边距离和相等, 并为平面上点到三边距离和的最小值. ④若三角形等边,

则三角形内任意一点到三边距离和相等, 并为平面上点到三边距离和的最小值.

证明不难, 关键是如下特殊情况.

借用下面的图, P是△AMN的一边MN所在直线上任意一点.

PE, PF分别为到另两边的垂线段. 设AM ≥ AN, NK MJ分别是AM, AN边上的高. 则有如下结论: 1) MJ ≥ NK.

2) 当P不在线段MN上, 有PE+PF > NK.

3) 若AM = AN, 且P在线段MN上, 有PE+PF = NK.

4) 若AM > AN, P在线段MN上且不与N重合, 则PE+PF > NK. 证明:

1) ∵AN·MJ/2 = S△AMN = AM·NK/2, ∴AN·MJ = AM·NK. 又∵AM ≥ AN, ∴MJ ≥ NK.

2) 若P在M左侧, 则PE+PF ≥ PE > MJ ≥ NK. 若P在N的右侧, 则PE+PF ≥ PF > NK. 因此PE+PF > NK对直线MN上不在线段MN上的P点均成立. 3) ∵S△AMP = AM·PF/2, S△ANP = AN·PE/2, ∴S△AMN = S△AMP+S△AMP = (AM·PF+AN·PE)/2. 又∵S△AMN = AM·NK/2, ∴AM·NK = AM·PF+AN·PE (*). ∵AM = AN, ∴NK = PF+PE. 4) 接上面(*)式. ∵AM > AN, PE > 0,

∴AM·NK = AM·PF+AN·PE < AM·PF+AM·PE = AM·(PE+PF), ∴NK < PE+PF.

向左转|向右转

回到一般情况.

如图, 设P是△ABC所在平面上任意一点, PD, PE, PF分别为其到三边的垂线段. 过P作BC的平行线, 交AB, AC于M, N.

不妨设AB ≥ AC, 则有AM ≥ AN. 设NK, NL为N到AB, BC的垂线段. ∵MN // BC, ∴PD = NL.

而上面的特殊情况已证PE+PF ≥ NK, ∴PD+PE+PF ≥ NL+NK. 即P到三边距离和不小于N到三边距离和.

这样就完成了第一步放缩, 将平面上的点变到一条边所在的直线上.

再对N使用上面的特殊情况(N在直线AC上运动),

可知AB ≥ BC时, N到三边的距离和不小于C到三边的距离和 (由AB ≥ AC, 此时AB为最大边). 而BC ≥ AB, N到三边的距离和不小于A到三边的距离和, (由AB ≥ AC, 此时BC为最大边). 总结起来, N到三边的距离和不小于最大内角的顶点到三边的距离和. 这样就完成了第二步放缩, 将直线上的点变到一点.

因此平面上到△ABC三边距离和的最小值一定在其最大内角的顶点取得. 而当△ABC有两边或三边相等, 上述放缩过程中的部分\能成立等号. 此时可能有更多的点取得最小值.

具体来说, 当三角形等腰, 且底边小于腰, 最大内角是底角. 底边上的点到三边(另两边)的距离和为定值, 即都等于最小值.

但对底边之外的点, 第一步放缩的不等号是严格的, 因此不能取得最小值. 当三角形等边, 两步放缩都能取得等号(对三角形内的点).

因此最小值在三角形内的任意点处取得(其实也可以直接用△APB, △BPC, △CPA的面积证明).

至此结论证毕.

如果非要说内心到三边距离的极值性质, 那就是\到三边距离的最大值最小\这个其实很显然, 而且意义不大, 所以就不写了.