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正弦定理

小陈去里约看奥运会，住在宾馆A处，青年体育馆B处与德奥多罗水上运动中心C处相距2公里，三处位置大致如下图所示，能否利用数学知识算出AB,AC的距离？

1 正弦定理

2 三角形的元素与解三角形

(1)三角形的元素

把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．

(2)解三角形

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

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答疑

1 对正弦定理的理解

(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．

(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．

(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．

(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．

2 正弦定理的变形公式

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练习

1 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正弦定理不适用于直角三角形．( )

(2)在△ABC中必有asin A＝bsin B．( )

(3)在△ABC中，若A>B，则必有sin A>sin B．( )

(4)在△ABC中，若sin A>sin B，则必有A>B.( )

(5)在△ABC中，若A>B，则必有cos A>cos B．( )

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定理的应用

探究1

一直两角及一边，解三角形

探究2

已知两边及一边的对角，求三角形

探究3

判断三角形的形状

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总结归纳

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深化拓展

余弦定理

1．对余弦定理的四点说明

(1)勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．

(2)与正弦定理一样，余弦定理揭示了三角形的边角之间的关系，是解三角形的重要工具之一．

(3)余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量．

(4)运用余弦定理时，若已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)，则由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．

2．对余弦定理推论的理解

余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．

例题讲练

探究点1　已知两边及一角解三角形

方法归纳：

(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法

①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；

②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．

(2)已知两边及其夹角解三角形的方法

方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．

方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．

[注意]　解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便．　

练习：

　1.在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．

探究点2 已知三边(三边关系)解三角形

方法归纳

已知三角形的三边解三角形的方法

先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．

[注意]　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．　

练习：

1.(2018·辽源高二检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝( )

A．90° B．60°

C．120° D．150°

探究点3　判断三角形的形状

方法归纳

判断三角形形状的思路

(1)转化为三角形的边来判断

①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2或c2＝a2＋b2；

②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2；

③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2④按等腰或等边三角形的定义判断．

(2)转化为角的三角函数(值)来判断

①若cos A＝0，则A＝90°，△ABC为直角三角形；

②若cos A<0，则△ABC为钝角三角形；

③若cos A>0且cos B>0且cos C>0，则△ABC为锐角三角形；

④若sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝90°，△ABC为直角三角形；

⑤若sin A＝sin B或sin(A－B)＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形；

⑥若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形．

在具体判断的过程中，注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定．　

章节总结

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