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VARs的结构也允许联合检验多个方程的限制。

视频：向量自回归VAR数学原理及R软件经济数据脉冲响应分析实例

【视频】向量自回归VAR数学原理及R语言软件经济数据脉冲响应分析实例

，时长12:01

例如，检验滞后p的所有回归变量的系数是否为零，可能是有意义的。这相当于检验滞后阶数p-1是正确的原假设。系数估计值的大样本联合正态性很方便，因为它意味着我们可以简单地使用F检验来解决这个检验问题。这种检验统计量的明确公式相当复杂，但我们使用R函数可以轻松完成这种计算。另一种确定最佳滞后长度的方法是像BIC这样的信息标准，我们对单变量时间序列回归进行了介绍。就像单方程的情况一样，对于多方程模型，我们选择具有最小的BIC(p)的模型，其中

其中 ^Σu表示对 VAR 误差的 k×k协方差矩阵的估计，det(·)表示行列式。

对于单变量分布式滞后模型，应该仔细考虑要包含在 VAR 中的变量，因为添加不相关的变量会通过增加估计误差来降低预测准确性。这一点特别重要，因为要估计的参数数量与 VAR 建模的变量数量成二次增长。

GDP增长率和期限利差的VAR模型

我们现在展示如何估计 GDP 增长率 GDPGR 和期限价差 TSpread 的 VAR 模型。关于 GDP 增长非平稳性的讨论，我们使用 1981:Q1 到 2012:Q4 的数据。两个模型方程是

数据集包含从 1947 年到 2004 年实际（即通胀调整后）GDP 的季度数据。我们首先导入数据集并进行一些格式化。


#加载宏观经济数据集
UWQ <- read_xlsx#格式化日期列
UWQ$Date <- as.yearqtr(USMte, format = "%Y:0%q")# 将GDP定义为ts对象
GDP <- ts
# 将GDP增长定义为一个ts对象
GDPoth <- ts# 3个月的国库券利率是一个'ts'对象
MS <- ts# 10年期国债的利率是一个'ts'对象
TS <- ts

我们通过 OLS 分别估计这两个方程，并使用test 来获得稳健的标准误差。

# 估计两个方程# 稳健的系数总结
coeftest(VAR1, vcov.)

我们最终得到以下结果：

VAR可用于获得与上述相同的系数估计，因为它也适用于每个方程的 OLS。

#使用`VAR()`设置数据进行估计
VARta <- window
# 使用`VAR()`估计模型系数
VARest <- VAR

VAR返回可以传递给常用函数的 lm 对象列表，例如 summary() ，因此可以直接获取各个方程的模型统计信息。

#从'VAR()'的输出中获得 adj.R^2
summaryadj.r.squared

我们可以使用单个模型对象来进行格兰杰因果检验。

# 格兰杰因果关系测试。# 检验期限差在解释GDP增长方面是否无用
linearHypothesis# 检验GDP增长是否没有解释期差的能力
linearHypothesis

两个格兰杰因果关系检验都拒绝了 5%的水平。

使用迭代 VAR 的迭代多元预测

迭代预测的理念，在一个时期内 T + 2 迭代预测的想法，是基于：到目前为止T时期的观察结果是使用提前一个时期的预测作为中间步骤。即，在预测 T+2 期间的水平序列时，将 T+1 期间的预测用作观察值。这可以推广到提前 h 期预测，其中 T 和 T+h之间的所有中间期都必须被预测，因为它们被用作过程中的观察。

关键概念

迭代多期预测

迭代多期 AR 预测的步骤是：

使用 OLS 估计 AR(p) 模型并计算提前一期的预测。
使用提前一期预测获得提前两期预测。
继续迭代以获得更远的未来的预测。

迭代的多期 VAR 预测 按如下方式进行：

使用每个方程的 OLS 估计 VAR(p) 模型，并计算 VAR 中所有 变量的提前一期预测。
使用提前一期的预测来获得提前两期的预测。
继续迭代以获得对未来 VAR 中所有变量的预测。

由于 VAR 使用各个其他变量的滞后对所有变量进行建模，因此我们需要计算所有变量的预测。当 VAR 很大时，这样做可能很麻烦，但幸运的是，有 R 函数可以促进这一点。例如，函数 predict() 可用于获得由函数 VAR() 估计的 VAR 模型的迭代多元预测。

下面的代码块显示了如何使用模型对象VAR_est计算到2015:Q1期间的GDP增长和期限利差的迭代预测，也就是h=10。

# 计算未来10个季度的GDP增长和期限差的迭代预测。
forecasts <- predict

这表明使用截至 2012:Q4 的数据对 2013:Q2 的 GDP 增长的前两个季度预测为 1.69。同期，期限利差的迭代 VAR 预测为 1.88。

返回的矩阵 predict(VAR_est) 还包括 95% 的预测区间。

我们还可以在的输出上调用 plot() 来绘制两个变量的迭代预测。

# 将迭代后的预测结果可视化
plot

直接多期预测

直接多期预测使用一个模型，其中预测因子被适当地滞后，这样就可以直接使用现有的观测值来进行预测。

例如，为了获得对 GDP 增长和期限利差的提前两个季度的预测，我们首先估计方程

然后将 GDPGR2012:Q4、GDPGR2012:Q3、TSpread2012:Q4 和 TSpread2012:Q3 的值代入两个方程。


# 直接计算两个季度前的预测结果
coef(VARQ1) %*%coef(VARQ2) %*%

应用经济学家经常使用迭代法，因为就MSFE而言，这种预测更可靠，前提是一周期前模型是正确指定的。如果情况不是这样，例如因为VAR中的一个方程被认为是错误的，那么使用直接预测可能是有益的，因为这时迭代法会有偏差，因此MSFE比直接法高。

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