pytorch autograd.grad

pytorch是动态图，即计算图的搭建和运算是同时的，随时可以输出结果；而tensorflow是静态图。

在pytorch的计算图里只有两种元素：数据（tensor）和运算（operation）

运算包括：加减乘除、开方、幂指对、三角函数等可求导运算。

数据可分为：叶子节点和非叶子节点；叶子节点是用户创建的节点，不依赖其他节点；叶子节点和非叶子节点的区别在于反向传播结束后，非叶子节点的梯度会被释放掉，只保留叶子节点的梯度，这样就节省了内存。如果想要保留非叶子节点的梯度，可以使用retain_grad()方法。

torch.tensor具有以下属性：

查看是否可以求导：requires_grad
查看运算名称：grad_fn
查看是否为叶子节点：is_leaf
查看导数值：grad

对于requires_grad属性，自己定义的叶子节点默认为False，而非叶子节点默认为True，神经网络中的权重默认为True。判断哪些节点是True/False的一个原则就是从我们需要求导的叶子节点到loss节点之间是一条可求导的通路。

当我们想要对某个Tensor变量求梯度时，需要先指定requires_grad属性为True，指定方式主要有以下两种：

x=torch.tensor(1.).requires_grad_()x=torch.tensor(1.,requires_grad=True)

pytorch提供两种求梯度的方法：backward()和torch.autograd.grad()，这两种方法的区别在于前者是给叶子节点填充.grad字段，而后者是直接返回梯度。需要知道的一点是y.backward()其实等同于torch.autograd.backward(y)

一个简单的求导例子是y=(x+1)×(x+2)y=(x+1)\times(x+2)y=(x+1)×(x+2)，计算∂y∂x\frac{\partial y}{\partial x}∂x∂y，假定x=2x=2x=2，先画出计算图：

整个链式求导过程为：

∂y∂x=∂y∂a∂a∂x+∂y∂b∂b∂x=(x+2)×1+(x+1)×1→7\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial y}{\partial a}\frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial b}\frac{\partial b}{\partial x}=(x+2)\times1+(x+1)\times1\to7∂x∂y=∂a∂y∂x∂a+∂b∂y∂x∂b=(x+2)×1+(x+1)×1→7

使用backward():

x = torch.tensor(2., requires_grad=True)a = torch.add(x, 1)
b = torch.add(x, 2)
y = torch.mul(a, b)y.backward()
print(x.grad)
>>>tensor(7.)

观察下这几个tensor的属性：

print("requires_grad: ", x.requires_grad, a.requires_grad, b.requires_grad, y.requires_grad)
print("is_leaf: ", x.is_leaf, a.is_leaf, b.is_leaf, y.is_leaf)
print("grad: ", x.grad, a.grad, b.grad, y.grad)>>>requires_grad:  True True True True
>>>is_leaf:  True False False False
>>>grad:  tensor(7.) None None None

使用backward()函数反向传播计算tensor的梯度时，并不计算所有tensor的梯度，而是只计算满足这几个条件的tensor的梯度：1.类型为叶子节点、2.requires_grad=True、3.依赖该tensor的所有tensor的requires_grad=True。所有满足条件的变量梯度会自动保存到对应的grad属性里。(?)

使用autograd.grad()

x = torch.tensor(2., requires_grad=True)a = torch.add(x, 1)
b = torch.add(x, 2)
y = torch.mul(a, b)grad = torch.autograd.grad(outputs=y, inputs=x)
print(grad)# (tensor(7.),)

因为指定了输出y，输入x，所以返回值就是∂y∂x\frac{\partial y}{\partial x}∂x∂y这一梯度，注意整个返回值是一个元组，但我们仅需要元组的第一个元素。

再举另外一个复杂一点且高阶求导的例子：z=x2yz=x^2yz=x2y，计算∂z∂x,∂z∂y,∂2z∂2x\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial^2 z}{\partial^2 x}∂x∂z,∂y∂z,∂2x∂2z，假设给定x=2,y=3x=2,y=3x=2,y=3

通过链式求导法则，我们可以得到：

∂z∂x=2xy→12,∂z∂y=x2→4,∂2z∂2x=2y→6\frac{\partial z}{\partial x}=2xy\to12,\frac{\partial z}{\partial y}=x^2\to4,\frac{\partial^2 z}{\partial^2 x}=2y\to6∂x∂z=2xy→12,∂y∂z=x2→4,∂2x∂2z=2y→6

求一阶导可以用backward()

x = torch.tensor(2., requires_grad=True)
y = torch.tensor(3., requires_grad=True)z = x * x * yz.backward()
print(x.grad, y.grad)
>>>tensor(12.) tensor(4.)

我们也可以使用autograd.grad()

x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
y = torch.tensor(3.).requires_grad_()z = x * x * ygrad_x = torch.autograd.grad(outputs=z, inputs=x)
print(grad_x[0])
>>>tensor(12.)

在这里如果这样写代码，同时输出y的导数：

grad_x=torch.autograd.grad(outputs=z,inputs=x)
grad_y=torch.autograd.grad(outputs=z,inputs=y)

此时会这样进行报错：

RuntimeError: Trying to backward through the graph a second time (or directly access saved tensors after they
have already been freed). Saved intermediate values of the graph are freed when you call .backward() or
autograd.grad(). Specify retain_graph=True if you need to backward through the graph a second time
or if you need to access saved tensors after calling backward.

这是因为无论是backward还是autograd.grad在计算一次梯度后图就被释放了，如果想要保留，需要添加retain_graph=True

x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
y = torch.tensor(3.).requires_grad_()z = x * x * ygrad_x = torch.autograd.grad(outputs=z, inputs=x, retain_graph=True)
grad_y = torch.autograd.grad(outputs=z, inputs=y)print(grad_x[0], grad_y[0])
>>>tensor(12.) tensor(4.)

接下来看如何求高阶导，理论上其实是上面的grad_x再对x求梯度：

x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
y = torch.tensor(3.).requires_grad_()z = x * x * ygrad_x = torch.autograd.grad(outputs=z, inputs=x, retain_graph=True)
grad_xx = torch.autograd.grad(outputs=grad_x, inputs=x)print(grad_xx[0])
>>>RuntimeError: element 0 of tensors does not require grad and does not have a grad_fn

这里出现了报错，虽然retain_graph=True保留了计算图和中间变量梯度，但没有保存grad_x的运算方式，需要使用create_graph=True在保留原图的基础上再建立额外的求导计算图，也就是会把∂z∂x=2xy\frac{\partial z}{\partial x}=2xy∂x∂z=2xy这样的运算存下来：

# autograd.grad() + autograd.grad()
x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
y = torch.tensor(3.).requires_grad_()z = x * x * ygrad_x = torch.autograd.grad(outputs=z, inputs=x, create_graph=True)
grad_xx = torch.autograd.grad(outputs=grad_x, inputs=x)print(grad_xx[0])
>>>tensor(6.)

grad_xx这里也可以直接用backward()，相当于直接从∂z∂x=2xy\frac{\partial z}{\partial x}=2xy∂x∂z=2xy开始回传

x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
y = torch.tensor(3.).requires_grad_()z = x * x * ygrad = torch.autograd.grad(outputs=z, inputs=x, create_graph=True)
grad[0].backward()print(x.grad)
>>>tensor(6.)

也可以先用backward()然后对x.grad这个一阶导继续求导

x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
y = torch.tensor(3.).requires_grad_()z = x * x * yz.backward(create_graph=True)
grad_xx = torch.autograd.grad(outputs=x.grad, inputs=x)print(grad_xx[0])
>>>tensor(6.)

那是不是也可以直接用两次backward()呢？第二次直接x.grad从开始回传，我们试一下

x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
y = torch.tensor(3.).requires_grad_()z = x * x * yz.backward(create_graph=True) # x.grad = 12
x.grad.backward()print(x.grad)
>>>tensor(18., grad_fn=<CopyBackwards>)

发现了问题，结果不是6，而是18，发现第一次回传时输出x梯度是12。这是因为PyTorch使用backward()时默认会累加梯度，需要手动把前一次的梯度清零

x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
y = torch.tensor(3.).requires_grad_()z = x * x * yz.backward(create_graph=True)
x.grad.data.zero_()
x.grad.backward()print(x.grad)
>>>tensor(6., grad_fn=<CopyBackwards>)

前面都是标量对标量求导，如果不是标量时：

x = torch.tensor([1., 2.]).requires_grad_()
y = x + 1y.backward()
print(x.grad)
>>>RuntimeError: grad can be implicitly created only for scalar outputs

可以看到此时报错了，因为只能标量对标量，标量对向量求梯度，x可以是标量或者向量，但y只能是标量，所以只要先将y转变为标量，对分别求导没影响的就是求和：

以下面为例：

假设x=[x1,x2],y=[x12,x22],y′=y.sum()=x12+x22,∂y′∂x1=2x1→2,∂y′∂x2=2x2→4x=[x_1,x_2],y=[x_1^2,x_2^2],y'=y.sum()=x_1^2+x_2^2,\frac{\partial y'}{\partial x_1}=2x_1\to2,\frac{\partial y'}{\partial x_2}=2x_2\to4x=[x1,x2],y=[x12,x22],y′=y.sum()=x12+x22,∂x1∂y′=2x1→2,∂x2∂y′=2x2→4

x = torch.tensor([1., 2.]).requires_grad_()
y = x * xy.sum().backward()
print(x.grad)
>>>tensor([2., 4.])

具体一点来解释，我们写出求导计算的雅可比矩阵，y=[y1,y2]y=[y_1,y_2]y=[y1,y2]是一个向量，J=[∂y∂x1,∂y∂x2]=[∂y1∂x1∂y1∂x2∂y2∂x1∂y2∂x2]J=[\frac{\partial y}{\partial x_1},\frac{\partial y}{\partial x_2}]=\begin{bmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\frac{\partial y_1}{\partial x_2}\\\frac{\partial y_2}{\partial x_1}&\frac{\partial y_2}{\partial x_2}\end{bmatrix}J=[∂x1∂y,∂x2∂y]=[∂x1∂y1∂x1∂y2∂x2∂y1∂x2∂y2]，但是我们希望最终求导的结果是[∂y1∂x1,∂y2∂x2][\frac{\partial y_1}{\partial x_1},\frac{\partial y_2}{\partial x_2}][∂x1∂y1,∂x2∂y2]，我们怎么得到这个值呢？注意∂y1∂x2\frac{\partial y_1}{\partial x_2}∂x2∂y1和\frac{\partial y_2}{\partial x_1}是0，那么：

[∂y1∂x1,∂y2∂x2]T=[∂y1∂x1∂y1∂x2∂y2∂x1∂y2∂x2][11][\frac{\partial y_1}{\partial x_1},\frac{\partial y_2}{\partial x_2}]^T=\begin{bmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\frac{\partial y_1}{\partial x_2}\\\frac{\partial y_2}{\partial x_1}&\frac{\partial y_2}{\partial x_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}[∂x1∂y1,∂x2∂y2]T=[∂x1∂y1∂x1∂y2∂x2∂y1∂x2∂y2][11]

所以不用y.sum()的另一种方式是：

x = torch.tensor([1., 2.]).requires_grad_()
y = x * xy.backward(torch.ones_like(x))
print(x.grad)
>>>tensor([2., 4.])

注意这里的torch.ones_like(x)指的就是雅可比矩阵右乘的那个向量，我们也可以使用autograd：

x = torch.tensor([1., 2.]).requires_grad_()
y = x * xgrad_x = torch.autograd.grad(outputs=y, inputs=x, grad_outputs=torch.ones_like(x))
print(grad_x[0])
>>>tensor([2., 4.])

或：

x = torch.tensor([1., 2.]).requires_grad_()
y = x * xgrad_x = torch.autograd.grad(outputs=y.sum(), inputs=x)
print(grad_x[0])
>>>tensor([2., 4.])

着重强调以及引申几点：

梯度清零：

Pytorch的自动求导梯度不会自动清零，而是会累积，所以一次反向传播后需要手动清零：

x.grad.zero_()

而在神经网络中，我们只需要执行：

optimizer.zero_grad()

使用detach()进行截断：

此时不会再往后计算梯度，假设有模型A和模型B，我们需要将A的输出作为B的输入，但训练时我们只训练模型B，那么可以这样做：

input_B = output_A.detach()

还是以前面的计算为例，将a切断，此时将只有b一条通路，且a变为叶子节点：

x = torch.tensor([2.], requires_grad=True)a = torch.add(x, 1).detach()
b = torch.add(x, 2)
y = torch.mul(a, b)y.backward()print("requires_grad: ", x.requires_grad, a.requires_grad, b.requires_grad, y.requires_grad)
print("is_leaf: ", x.is_leaf, a.is_leaf, b.is_leaf, y.is_leaf)
print("grad: ", x.grad, a.grad, b.grad, y.grad)>>>requires_grad:  True False True True
>>>is_leaf:  True True False False
>>>grad:  tensor([3.]) None None None

原位操作 in-place

这个操作改变值，但是不改变对象地址

注意：叶子节点不可执行in-place操作，因为反向传播时会访问原来的对象地址。

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