斐波那契问题——上台阶问题

题目：

给定整数N，代表台阶数，一次可以跨2个或者1个台阶，返回有多少种走法。

举例：

N=3，可以三次跨一个台阶，也可以先跨2再跨1，也可以先跨1再跨2，共三种走法。

思路：

如果台阶只有1级，方法只有一种，如果台阶有两级，方法有两种。如果台阶有N级，最后跳上第N级台阶时，要么从N-2级台阶直接跨2级，要么从N-1级跨1级上去。所以台阶有N阶的方法为跨到N-2级台阶的方法数加上跨到N-1级台阶的方法数。即S(N)=S(N-1)+S(N-2)

S(1)=1 S(2)=2 。

例如台阶为5阶：（共八种）

先跨3阶，1 1 1，1 2， 2 1，最后一步跨 2（共三种）

先跨4阶，1 1 1 1，1 1 2，1 2 1，2 1 1 ，2 2，最后一步跨1（共五种）

类似于斐波那契数列：

方法一: 暴力递归

    public static int s1(int N) {if (N == 1) {return 1;}if (N == 2) {return 2;}return s1(N-1) + s1(N-2);}

方法二：O(N)

    public static int s2(int N) {if (N < 1) {return 0;}if (N == 1 || N ==2) {return N;}int res = 2;int pre = 1;int tmp = 0;for (int i = 3; i <= N; i++) {tmp = res;res += pre;pre = tmp;}return res;}

方法三：（使用矩阵乘法）

S(N)=S(N-1)+S(N-2)是一个二阶递推数列，用上篇博客的矩阵乘法的方法，根据前四项

代码实现：

代码中的matrixPower方法在这篇博客介绍：斐波那契数列问题

    public static int s3(int N) {if (N < 1) {return 0;}if (N == 1 || N ==2) {return N;}int[][] base = {{1,1},{1,0}};int[][] res = matrixPower(base, N-2);return 2*res[0][0] + res[1][0];}

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