线性代数——线性变换——旋转矩阵（泰勒公式、虚数、欧拉公式）

设点 $(x,y)$ 离坐标原点距离 $r$ ，与 $x$ 轴夹角 $\theta _{0}$ ，将点绕原点逆时针旋转 $\theta$ ，旋转之后点的坐标为 $({x}',{y}')$ 。显然 $({x}',{y}')$ 与原点距离不变，仍然为 $r$ 。

显然如下关系成立：

$\frac{{x}'}{r}=cos(\theta _{0}+\theta )=cos(\theta _{0})cos(\theta)-sin(\theta _{0})sin(\theta)=\frac{x}{r}cos(\theta)-\frac{y}{r}sin(\theta)$

$\frac{{y}'}{r}=sin(\theta _{0}+\theta )=sin(\theta _{0})cos(\theta)+cos(\theta _{0})sin(\theta)=\frac{y}{r}cos(\theta)+\frac{x}{r}sin(\theta)$

整理得到：

${x}'=xcos(\theta)-ysin(\theta)$

${y}'=xsin(\theta)-ycos(\theta)$

把上面这两个方程写成矩阵形式：

$\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

所以，只要用上面这个矩阵作用在一个矢量 $(x,y)$ 上，就会得到旋转之后的矢量 $({x}',{y}')$ 。因此，这个矩阵就代表了把矢量逆时针旋转 $\theta$ 的旋转操作。

【扩充】证明 $cos(\theta _{0}+\theta )=cos(\theta _{0})cos(\theta)-sin(\theta _{0})sin(\theta)$ ， $sin(\theta _{0}+\theta )=sin(\theta _{0})cos(\theta)+cos(\theta _{0})sin(\theta)$

证明：

分成3个部分：

1）、理解泰勒公式的由来及意义

问题：一个简单的三角函数 $y=sin(x)$ ，现在要求当 $x=1$ 时的函数值。如果不借助计算机，要怎么求这个值呢?

泰勒的思路是：用多项式函数去近似拟合三角函数。

在回归分析中，我们以多项式函数拟合数据集，多项式的“项”越多，对数据集的拟合程度越好，如下图。

于是这个问题就转换为求解一个多项式函数（“项”的个数越多拟合越好，可以无穷大），让这个多项式函数无限地和三角函数或者其他我们需要的函数等价。

推导过程如下：

我们定义 $f(x)=sin(x)$ ，我们塑造一个多项式函数： $p(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+...+a_{n}(x-x_{0})^{n}+o(x-x_{0})^{n+1}$ ，其中 $o(x-x_{0})^{n+1}$ 为误差项，是 $p(x)$ 和 $f(x)$ 的差值。

令 $f(x)=sin(x)=p(x)$ ，则 $f(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+...+a_{n}(x-x_{0})^{n}+o(x-x_{0})^{n+1}$ 。

我们假设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 点左右邻域内，各阶导数都存在（必要条件），则：

$f(x_{0})=a_{0}$

${f}'(x_{0})=a_{1}$

${f}''(x_{0})=2!a_{2}$

${f}'''(x_{0})=3!a_{3}$

....

$f^{(n)}(x_{0})=n!a_{n}$

进而得：

$a_{0}=f(x_{0})$

$a_{1}={f}'(x_{0})$

$a_{2}=\frac{{f}''(x_{0})}{2!}$

$a_{3}=\frac{{f}'''(x_{0})}{3!}$

....

$a_{n}=\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$

将系数代入 $f(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+...+a_{n}(x-x_{0})^{n}+o(x-x_{0})^{n+1}$

$\begin{align}f(x) & =f(x_{0})+{f}'(x_{0})(x-x_{0})\\&+\frac{1}{2!}{f}''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+\frac{1}{3!}{f}'''(x_{0})(x-x_{0})^{3}...\\&+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}+o(x-x_{0})^{n+1} \end{align}$

化简得：

$f(x)=\sum ^{\infty }_{n=0}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}+o(x-x_{0})^{n+1}$ ，误差项 $o(x-x_{0})^{n+1}$ 可去掉，得

$f(x)=\sum ^{\infty }_{n=0}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}$ ，这就是泰勒公式，其中 $f^{(n)}(x_{0})$ 代表 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。

案例1： $f(x)=sin(x)$

①先求其的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x_{0})$

$f(x_{0})=sinx_{0}=sin(x_{0}+\frac{\pi }{2}\cdot 0)$

${f}'(x_{0})=cosx_{0}=sin(x_{0}+\frac{\pi }{2}\cdot 1)$

${f}''(x_{0})=-sinx_{0}=sin(x_{0}+\frac{\pi }{2}\cdot 2)$

${f}'''(x_{0})=-cosx_{0}=sin(x_{0}+\frac{\pi }{2}\cdot 3)$

${f}^{4}(x_{0})=sinx_{0}=sin(x_{0}+\frac{\pi }{2}\cdot 4)$

....

$f^{(n)}(x_{0})=sin(x_{0}+\frac{\pi }{2}\cdot n)$

已知： $sin(0)=0,sin(\frac{\pi }{2})=1,sin(\pi)=0,sin(\frac{3\pi }{2})=-1,sin(2\pi)=0,$ .....

②我们将 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x_{0})$ 代入方程 $f(x)=\sum ^{\infty }_{n=0}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}$ ，得

$\begin{align}f(x)=p(x)&=\sum ^{\infty }_{n=0}\frac{1}{n!}sin(x_{0}+\frac{\pi }{2}\cdot n)(x-x_{0})^{n}\\&=\frac{1}{0!}sin(x_{0}+\frac{\pi }{2}\cdot 0)(x-x_{0})^{0}+\frac{1}{1!}sin(x_{0}+\frac{\pi }{2}\cdot 1)(x-x_{0})^{1}+\frac{1}{2!}sin(x_{0}+\frac{\pi }{2}\cdot 2)(x-x_{0})^{2} \\&+\frac{1}{3!}sin(x_{0}+\frac{\pi }{2}\cdot 3)(x-x_{0})^{3}+\frac{1}{4!}sin(x_{0}+\frac{\pi }{2}\cdot 4)(x-x_{0})^{4} +...+\frac{1}{n!}sin(x_{0}+\frac{\pi }{2}\cdot n)(x-x_{0})^{n} \end{align}$

取 $x_{0}=0$ ，得：

$\begin{align}f(x)=sinx=p(x) &=0+x+0-\frac{1}{3!}x^{3}+0 +\frac{1}{5!}x^{5}+0-\frac{1}{7!}x^{7}...+\frac{1}{n!}sin(x_{0}+\frac{\pi }{2}\cdot n)(x-x_{0})^{n} \\&=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{align}$

案例2： $f(x)=e^{x}$

①我们知道 ${(e^{x})}'=e^{x}$

②

$\begin{align}f(x)=p(x)&=\sum ^{\infty }_{n=0}\frac{1}{n!}e^{x_{0}}(x-x_{0})^{n}\\&=\frac{1}{0!}e^{x_{0}}(x-x_{0})^{0}+\frac{1}{1!}e^{x_{0}}(x-x_{0})^{1}+\frac{1}{2!}e^{x_{0}}(x-x_{0})^{2} \\&+\frac{1}{3!}e^{x_{0}}(x-x_{0})^{3}+\frac{1}{4!}e^{x_{0}}(x-x_{0})^{4} +...+\frac{1}{n!}e^{x_{0}}(x-x_{0})^{n} \end{align}$

取 $x_{0}=0$ ，得：

$f(x)=e^{x}=p(x) =1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+...+\frac{x^{n}}{n!}$

2）、欧拉公式 $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$ 的推导（当 $\theta =\pi$ 时， $e^{i\pi }=-1 +0$ ）

泰勒公式：

$sinx=\sum ^{\infty }_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$cosx=\sum ^{\infty }_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+...+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$e^{x}=\sum ^{\infty }_{n=0}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+...+\frac{x^{n}}{n!}$

虚数部分：

$i^{0}=1$

$i^{1}=i$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-i$

$i^{4}=1$

...

根据 $i^{2}=-1$ ， $i^{4}=1$ 我们可以将 $cosx=\sum ^{\infty }_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+...+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ 做下变换，结果如下：

$cosx=1+\frac{(xi)x^{2}}{2!}+\frac{(xi)^{4}}{4!}+\frac{(xi)^{6}}{6!}+...+(i)^{2n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ ；

$sinx=\sum ^{\infty }_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 做下变换，结果为：

$sinx=x+\frac{x^{3}i^{2}}{3!}+\frac{x^{5}i^{4}}{5!}+\frac{x^{7}i^{6}}{7!}+...+(i)^{2n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ，乘以 $i$ ，

$isinx=ix+\frac{(xi)^{3}}{3!}+\frac{(xi)^{5}}{5!}+\frac{(xi)^{7}}{7!}+...+(i)^{2n}\frac{(xi)^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ，所以：

$cosx+isinx=\sum ^{\infty }_{n=0}\frac{(xi)^{n}}{n!}=e^{ix}$ ，即 $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$

3）、证明 $cos(\theta _{0}+\theta )=cos(\theta _{0})cos(\theta)-sin(\theta _{0})sin(\theta)$ ， $sin(\theta _{0}+\theta )=sin(\theta _{0})cos(\theta)+cos(\theta _{0})sin(\theta)$

从上面证明的欧拉公式可知： $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$

令 $\theta$ = $A+B$ ，

则 $e^{i(A+B) }=cos(A+B) +isin(A+B)$

$\begin{align}e^{i(A+B) } & =e^{iA }\cdot e^{iB }\\&=(cosA +isinA)(cosB +isinB) \\&=cosAcosB+i(sinAcosB+sinBcosA)+i^{2}sinAsinB \\&=cosAcosB-sinAsinB+i(sinAcosB+sinBcosA) \end{align}$

所以得到：

$cos(A+B)=cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)$ ，

$sin(A+B )=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)$

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