线性代数——韦达定理、矩阵行列式、矩阵的迹、矩阵特征值及关系
本文主要围绕以下定理,并对相关知识点做回顾和扩充。
定理:设,...,
(实数或者复数,可以重复)是
阶方阵
的
个特征值,即
,则
,
通俗描述即为:矩阵的特征值之和等于矩阵的迹,矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式。
以下分为五个部分介绍:
- 韦达定理
- 矩阵行列式
- 矩阵的迹
- 矩阵的特征值及特征向量
- 解释矩阵的特征值之和等于矩阵的迹,之积等于矩阵的行列式
一、韦达定理
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
1、一元二次方程
对于一元二次方程(
且
),设两个根为
,
。
则:
且易得到:,
以上定理交代了两根之和(积)与方程系数的关系。
2、一元三次方程
对于一元三次方程,设三个根为
,
,
。
易得到:,
3、一元多次方程
推广定理:韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系,还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。
设复系数一元n次方程,其中
代表第
次项的系数,
代表常数项。
则,
即:所有根之和为(n-1)次项系数与n次项系数之比的相反数,所有根之积为常数项与n次项系数之比再乘以
注:该推广形式的证明一般无法根据求根公式进行,因为5次以上的一元方程没有求根公式。证明步骤较繁琐,是通过将左边的多项式因式分解成之后,再去括号,比较相同次数的项的系数从而得出结论。这个方法具有普遍性,即使是有求根公式的方程,亦可以通过该方法证明韦达定理,而无需借助求根公式。
二、矩阵行列式
1、矩阵行列式的基本介绍
一个的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|,一个2×2矩阵的行列式可表示如下:
把一个阶行列式中的元素
所在的第
行和第
列划去后,留下来的
阶行列式叫做元素
的余子式,记作
。记
,叫做元素
的代数余子式。例如:
,
,
注意:余子式和代数余子式是行列式中才有的概念。如上所示,此时的代表行列式,
代表元素
的余子式,
代表元素
的D代数余子式。
命题:n阶行列式det(A)等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和:
(其中,
可以取任意的行号1,2,3,...,n)
(其中,
可以取任意的列号1,2,3,...,n)
2、矩阵行列式的几何理解
一句话概括之,行列式的本质就是线性变换的放大率(伸缩因子)。
几何理解:表示
维空间到
维空间的线性变换,假想原来空间中有一个
维的“立方体”(任意形状),其中“立方体”内的每一个点都经过这个线性变换,变成
维空间中的一个新立方体,设原立方体的体积为
,新立方体的体积为
,行列式
。
1)线性变换
理解行列式之前,需要先理解线性变换。
线性代数中的线性变换:转换矩阵乘以向量
就是对其进行了线性变换,从而得到转换之后的向量
。
线性变化中的“”线性”二字,也就是原来的一条直线,在变换了之后还应该是直线。
任何一个空间都可以由一组基构成,也就是说,这个空间上的任何一个点(向量)都可以由这组基以线性组合的形式得到。
如下图,也可以写作
(
和
为基向量,
,
)
假设我们有原向量,变换(旋转)矩阵
,从而得到转换之后的向量
。
从基向量的角度解释:矩阵对向量
的变换,其实是施加在其基底上的变换,而新的向量
关于新的基底
的线性组合,与原来的向量
是关于基底
的线性组合是一样的。
,
,
,线性组合系数为(2,3),
,
经过矩阵
的线性变换之后变成新的基底
,
,新向量
。
注意:关于旋转矩阵的由来及推导可见《线性代数——线性变换——旋转矩阵(泰勒公式、虚数、欧拉公式)》
所以我们说,一个向量,在经过一个矩阵的变换之后,改变的是组成向量的基,而这个向量关于基的线性组合方式是没有变化的。
换句话说,对于一个线性变换,我们只需要跟踪其基在变换前后的变化,便可以掌握整个空间的变化。而矩阵的列其实与变换后新的基底之间有着某些联系,也就是说,新的基底其实就是矩阵
的列向量的线性组合
,其中
是
的列。
以上的图形展现的是“旋转”的线性变化,其本质是改变组成向量的基。接下来我们“推移”是怎么改变基的,如下图。
推移矩阵把推移到
实际上也是改变了
的基底
。
有原向量,变换(推移)矩阵
,从而得到转换之后的向量
。
从基向量的角度解释:设,
,
,线性组合系数为(2,3);
,
经过矩阵
的线性变换之后变成新的基底
,
,新向量
。
2)行列式的几何理解
以上面的旋转矩阵为例,我们对其求行列式
,意味旋转矩阵的行列式恒等于1,且不改变面积(或体积),如下图二维平面的旋转展示。
即和上面的结论相符:行列式是线性变换的伸缩因子。
且我们容易得到:
,对图形起到放大作用;
,图形大小没有变化;
,对图形起到缩小作用;
,矩阵不可逆。
,改变了基的“左右手法则”。
3)行列式的性质
由上面我们已经知道,行列式是线性变换的伸缩因子,所以很容易得到:
从“体积”的角度理解为:两次对“体积”的缩放效果是累积的,且和两次操作次序无关。
4)“矩阵可逆” 完全等价于 “
”
公式推导
由上面我们已知:
且有逆矩阵的性质:(
为单位矩阵)
结合可得:
如果,则
,无意义,即
不存在,即矩阵
不可逆。
几何理解
可以理解为线性变换矩阵
把
维立方体给拍扁了(原来
维变成了
维或
维,....),例如把3维立方体拍成2维的纸片,纸片体积多少呢?当然是 0 啦!
注意:这里说的体积都是针对维空间而言的,
就表示新的立方体在
维空间体积为0,但是可能在
维还是有体积的,只是在
维空间的标准下为0而已。好比一张纸片,“2维体积”也就是面积可以不为0,但是“3维体积”是0。
所以凡是的矩阵
都是不可逆的,因为这样的变换以后就再也找不到一个矩阵将其变换回去,这样的矩阵必然是没有逆矩阵
的。
详细可参考:
https://www.matongxue.com/madocs/247.html
https://www.zhihu.com/collection/200330229
三、矩阵的迹
1、矩阵的迹的基本介绍
在线性代数中,一个矩阵
的主对角线(从左上方至右下方的对角线)上各个元素的总和被称为矩阵
的迹(或迹数),一般记作
,
。
四、矩阵的特征值及特征向量
1、矩阵的特征值、特征向量的基本介绍
以下知识点来自吴传生主编的《线性代数》
1)特征值、特征向量
设是
阶方阵,如果标量
和
维非零列向量
使关系式
成立,则称
是方阵
的特征值,非零列向量
称为
的对应于特征值
的特征向量。
可改写为
。
这是个未知数
个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是
,即
2)特征值、特征向量的求解
求n阶方阵的特征值和特征向量的步骤如下:
求出n阶方阵A的特征多项式
求出特征方程
=0的全部根,
,
,......,
,即为A的特征值。
把每个特征值
代入线性方程组
,求出基础解系,就是A对应于
的特征向量,基础解析的线性组合(零向量外)就是A对应于
的全部特征向量。
3)特征值、特征向量的几何解释
上面我们提到,线性变换其实是施加在其基底上的变换,在以为基底的二维空间中,向量
经过矩阵
变换,变成
,可以观察到,调整后
和
在同一条直线上,但是
相对于
延长了。
此时,我们就称是
的特征向量,而
的长度是
的长度的
倍,
就是特征值。
所以可以理解为,
在
的作用下,保持方向不变进行比例为
的伸缩。
如果把矩阵看作是运动,则特征值就是运动的速度,特征向量就是运动的方向。
五、解释矩阵的特征值之和等于矩阵的迹,之积等于矩阵的行列式
1、矩阵的特征值之和等于矩阵的迹
已知求阶方阵的特征值,即求
阶方阵
的特征多项式
的全部根,即求
的所有
。
由韦达定理可知:设,其中
代表第
次项的系数,
代表常数项。则
,其中,
为
的系数等于
(当
为奇数时等于-1,偶数时为1);
为
的系数,除了主对角元的乘积
的展开项之外,其他展开项的次数都小于
,因此
次项的系数
就是
中
的系数,等于
(当
为奇数时为负,偶数时为正),则
,即矩阵的特征值之和等于矩阵的迹。
2、矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式
1)代数理解
同样根据韦达定理可知,,其中,
为
的系数等于
(当
为奇数时等于-1,偶数时为1),则可化简为
,已知特征多项式
,我们令
,求得
,
代表
阶方阵
的行列式,即
,矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式。
2)几何理解
特征值,理解为通过变换改变了观察者视角,由特征向量产生新的正交基,每个特征值对应着特征向量所在方向上的缩放系数,
行列式,理解为有向体积的缩放系数。
特征值在每个维度上缩放系数之乘积就是总的有向体积缩放系数。
如下图所示,原来的长方体体积,缩放之后的长方体体积等于。
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