四. Limits and Continuous Functions极限和连续

（1+1/n）^n--->e 平衡的好时

（1+1/n^2）^n---> 1

（1+1/n）^(n^2)---> infinity

洛必达法则：用来计算趋于0时，且均有良好的斜率

连续量的比值不是数与数的比值，而是趋势与趋势的比值

特性强：可导> 连续，可导必然连续、连续不一定可导

oscillation振动

著名的不连续的例子：sin（1/x） x-->0

x sin（1/x） x-->0 连续

一. sin x 和cos x的导数

重复运动： e.g. 心跳、圆周运动、呼吸、地球公转

增长运动：幂函数 x、x^3 、x^n、 e^x、

减少：e^(-x)

limit of sin θ / θ is 1， θ-->0

不能直接相除

必须令两者同时趋近于 0，观察他们比率的变化

三角函数的意义

毕达哥拉斯定理（勾股定理）

cos：邻边比斜边

sin：对边比斜边

tan：对边比邻边 tan= sin/ cos

circular motion:

radians弧度制，角度用弧长来表示，

弧长为θ（the distance around the circle）、角度是theta radians

证明 sin θ的斜率 =1，at θ=0，微积分关注的永远是极限过程

1). sin θ的斜率 < 1

2).sin θ/θ > cos sin θ

sin θ/θ 曲线夹在 cos 和水平线中间，后两者极限为1

DONE.

证明：y= sinx 的导数为 cos x

三角函数的两角和公式：

sin(a+b) = sin a cos b+ cos a sin b

cos(a+b) = cos a cos b -sin a sin b

（cos Δx -1） / Δx -->0 ，Δ x-->0 的图像证明，这篇有提到：

微积分入门教学——简单导数篇 - 哔哩哔哩 (bilibili.com)

二. 乘法法则和除法法则

幂法则是链式法则的特例

乘法法则

推导

Δg Δf 二阶项 second order

Δg Δf / Δx -->0，Δx-->0

除法法则

q(x) =f(x) / g(x)

公式：

the bottom times the derivative of the top

minus the top times the derivative of the bottom

divided by the bottom squared

三. 复合函数和链式法则

a chain of functions 函数链，正式的称谓为复合函数（composite function）

z = e^(-x^2/2)

an even function 偶函数，关于y轴对称

钟形曲线（与正态分布有关）,概率论的基础

五. 逆函数和对数函数

对数函数是 e^x的逆函数

逆函数：

映射关系反向

x和y需要一一对应，图像要么一直向上、要么一直向下，不一定单调如 y=1/x

指数函数e^x的特质，通过逆函数，可以得到一些不同的性质：

（1） ln（yY）=ln y + ln Y ,这是计算尺（slide rule）的基本原理，

（2） ln（y^n）= n lny

e.g.2.

温度的表示：华氏度F、摄氏度C 之间的关系

水的冰点 32华氏度摄氏度0度

沸点 212 华氏度 100摄氏度

F = （9/5）C+32

代数的思想：一次性处理所有数 to deal with all number at once

y= e^x 和 x= ln y 图像：

y= e^x x可正可负，y为正，

负数的对数不是我们的研究范围

log求得就是exponent，

大数的对数，会化成小数

六. 对数函数和反三角函数的导数

d(ln y )/dy = 1/y =y ^(-1)

d(x^n)/dx = n x^(n-1) , except n = 0

找回遗失的-1幂次！

lny导数1/y ，这就是为什么对数函数增长这么慢！ y上涨，斜率更小

反三角函数 ( the inverse sine function) (arcsin)

导数的所有重要法则：加减乘除、链式法则、逆函数及其导数、

f+g 求和的导数，直接将导数相加即可

逆函数的法则：

如果我们知道如何求导f，用以上函数链的链式法则可以求f逆的导

ln（e^x）= x e^(lny)=y

总结：逆（反）函数套链式求导

反三角函数求导公式：(arcsinx)=1/√(1-x^2)、(arccosx)=-1/√(1-x^2)、(arctanx)=1/(1+x^2)

arcsin + arccos 是个常数

导数相加=0

七.增长率和对数图

logx

linear： cx

x^2、x^3 ,.... 多项式增长polynomial growth ，e.g .幂函数 power of x

exponential指数增长： 2^x， e^x ，10^x

factorial ：阶乘 x! x^x

根据(n!/ n^n) ^(1/n)-->1/e，

x^x/ e^x ≈ x!

Decay：headed for 0

对数尺度a log scale

应用：

y =A x^n，实际增长曲线，很难看出实际增长率

c语言log函数默认e为底

可能是以任意合适的数为底，对做图不影响。

现在才理解了，数学就是人们为了简化计算的一种工具，都有来头
非线性转换线性（log图核心：以 logy 为y轴，logx为x轴；半对数图 semi log paper）---可以准确估计斜率

观察：多项式函数、指数函数取对数后，大数和小数都被合理化了，可以得到一条直线

拟合：最小二乘法least squares、是一个求最佳直线的微积分方法、

最小二乘法求残差平方和最小需要用导数

Error E = df/ dx - Δf/ Δx ≈ A (Δx)^n n?

在小段距离Δx上，比较瞬时斜率和平均斜率之间的差。即切线和割线的斜率差

没有这个就没有泰勒，泰勒级数 Taylor's series 可以解出n =1，A

中心差分centered difference ，(f(x+Δx)-f(x-Δx) ) / 2 Δx，此时 n=2，准确度比原来大大提升

这个在高级宏观里面的索洛模型中的收敛速度有相关知识

八.线性近似和牛顿法

两则导数的应用：

1. 求函数f在x点的近似值f(x)，求f

2. 解方程 F(x) = 0 ，求x，牛顿法

两种应用都基于同样的思想，假设存在一点，which is near the x we want, or near the solution to this problem ,这点记作a，假设知道此点斜率，来逼近解

1.Find f(x)

At x=a df/ dx = f`(a) ≈ ( f(x) - f(a) )/ ( x-a )

f(x) ≈ f(a) + (x-a)f`(a) ，如果离得不太远，直线离f曲线也不会太远

拉格朗日中值定理

继续求f'(x),就可以得到泰勒展开了

其实忽略了二阶导.....n阶导

所以叫近似阶，加余项的话就是等于了

根号9.06的解和根号9类似所以求出根号9假装是根号9.06的解，这么复杂的吗？

the linear approximation following this line

用导数的延长线近似曲线

2. x -a ≈ -F(a) / F`(a)

这种近似解法称作：牛顿-拉夫逊方法，或称牛顿法

线性近似与幂级数类似（power series），如 e^x =1+x+ 1/2（x^2） +...

相当于幂级数从常数分量和线性分量后截断，就是线性近似。

牛顿迭代法，数值分析

九.幂级数和欧拉公式

infinite series无穷级数

Matching derivatives at x=0，by each power of x,

不是每项匹配1，而是f(x) match 1。如3阶导只能x^3项去配，前几项3阶导消去，后几项x=0也消去

因为教授说了，只考虑函数在x=0时的值，而指数函数在x=0时为1，所以多项式每项都要找到一个a使得这项为1

在纸上拿整个f(x)去求下各阶导数，再把0带入x，就可以看出老头的意思

通项 typical term

the whole series has been built focused on that point x=0

泰勒级数将初等函数统一为幂级数的形式

为什么选0点？因为在0点求导都是1的形式，可以利用幂的求导来凑，

x=0是麦克劳林展开

把sinx 级数求导就是cosx的级数了

泰勒展开是去找一个多项式函数来近似模拟一个复杂函数

欧拉公式在微分方程应用超重要没有欧拉公式以后就不能偷懒了

i^2 =-1

complex plain复平面，这里的点都包含两部分，实部和虚部（real part imaginary part）

e^it = cos t + i sin t

e^(-it) = cos t - i sin t

几何级数geometric series ，系数都为1 （coefficients）

1/(1-x) = 1+ x+x^2+x^3+... ok when |x|<1

两边积分

-ln(1-x) = x+ x^2/2+x^3/3+x^4/4 +... 右侧：调和级数

x=1时，左右两边都是infinity

ln0 = -∞

应用：

10.关于运动的微分方程

常系数、线性、二阶、微分方程（differential equations）

解：这些已知函数的乘积

加一个常数C是为了匹配初始条件

C在微分后消失，属于从微分方程里无法确定的项。从工学应用上来讲也可以说是这个解本身有1自由度

线性方程解的线性组合依然是方程的解

本讲的精髓：常系数微分方程的解，是这些已知函数的乘积（指数函数、正余弦、幂函数）

这个方程是工程领域的一种基本方程

以弹簧为例，

振动（oscillation） e.g. ：弹簧、摆钟、小提琴弦、heart、分子

实际上，这种模型中通常 r=0 ，假设没有空气阻力、阻尼；

F =ma牛顿定律 mass质量、

接近光速、质能转换、

胡克定律：弹簧的弹力与拉伸程度成正比。F=kx（在这里是y） k是弹簧的硬度、胡克常数、弹簧常数

假设没有阻力时 r=0，将一直振动，沿正弦和余弦

常数C、D取决于初始状态，从静止开始没有正弦项

重力？

跟重力没关系考虑的是弹力、重力在平衡态下已经抵消了；二力平衡下重力和初始弹力相互抵消

拿平衡点建系的话就不考虑重力、令平衡状态下位移为0

这个是运动方程中力的平衡。此时的重力是ma的中的一部分

现在考虑阻尼振动，求解 my``+2ry`+ky =0 ，这是微分方程课中最重要的方程，指数函数可解

核心思想：Try y= e^( )t

m λ^2+ 2rλ + k=0 特征方程

可以 try 是因为 e^ λt 是特征向量

随着数字改变、会得到不同λ、会在指数情况和振动情况之间change，

Mck二阶微分系统是工程问题中的经典

EX2.

λ 又叫衰减率decay rates, 因为他们出现在指数上，e^(-3t)表示衰减，弹簧由于空气阻力在减慢

通过虚数欧拉公式，可得振动情况

终于知道为什么这种情况通解可以直接写成指数形式，因为欧拉公式！！

应该这样想：sint和cost定义来源于解-(d^2y)/(dt)^2=y，而e^t定义来源于解dy/dt=y，这样很自然就会引出新定义（i^2=-1），由此e^i，不分正负，构成解而已

物理意义：振动逐渐减弱，在平息的过程中，振动会来回经过平衡点，

其实 i 引入能够让我们在正交基上把实域解进行分离，从而沿用两个线性无关组合表达解的过程。有时候解决人类世界维度下问题的思路就是通过高维的非直觉方法，因为人类不知道这个问题是不是一个投影。

EX3.

这三个例子分别对应三种特征根的情况

两个相等的实解、二重根a double root、

总结：线性常系数微分方程，通过e^λt通通可以搞定，λ也可求解，如果是实数，结果是指数函数，如果是虚数，解是正余弦，如果是重根，引入因子t

11.关于增长的微分方程

本讲重点引入非线性方程，先从基本线性方程、和含有资源项的基本线性方程开始。

把y+s/c看作函数f，

df/dt = cf，

f = (f0)*e^ct，f0=y(0)+s/c

y(t)+s/c = (y(0)+s/c)*e^ct，

线性方程的解，总有这样的形式：

特解a particular solution，that does solve the equation 任一个满足方程的函数，最简单是常函数

+ another solution with a right side 0

非齐次的特解和齐次通解的线性组合。跟线代里面的零空间的解和列空间的解一模一样，

右侧为0: 即保留含有y的，去掉资源常数，齐次方程，dy/dt=cy，的解含有e^ct

这个其实数形结合会更好理解，就是原函数平移了而已

非线性方程：

人口增长、生态学、

logistic 阻滞增长模型

这是马尔萨斯的人口模型

应该说这是一门复习课，不太适合第一次学微积分

c：出生率-死亡率

竞争项、减速项，s：减速因子 P^2一定程度上反映了人口之间的相互作用。s very~~small

虽说是非线性，但我觉得就和牛顿二定律 F表现出来的合外力一样

模型也广泛用于化学和生物领域，化学里叫作 mass action质量作用、两种不同化学物质、两者相互作用正比于其中一个的量，也正比于另一个的量，正比于两者之积

LOGISTIC EQU

作图：

t=0, P=0

导数=0，特解、doesn't move。c/s 大概一百亿人口 10billion，此时，增长和竞争的效应会互相抵消

环境容纳量还得看科技怎么发展

解非线性的技巧：化为线性

维基百科说某时刻，增长率达到了1.8%，教授认为 c 的单位应该是时间分之一。因为e^ct，c must have the dimension of 1 over time, 增长率应该是1.8%每年

population of 捕食者u --猎物v 模型

du/dt = -cu + suv

dv/dt = Cv - Suv

如果猎物不够，捕食者就会减少；捕食者减少，猎物就会增加---> u*v

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