树的直径

一、什么是树的直径

直径往往和圆有关系。数学中，圆的直径是圆内最长的一条线段。那么在树中，树的直径就是树中最长的一段距离。

二、计算树的直径的思路

命题：
①在树上任取一个点x，找到距离x最远的一个点，即为y。y就是直径的一段。
②再找到距离y最远的一个点，即为z。这时候，y->z的路径就是树的直径了。

证明命题：（分①②两步证）

①：任取一点，距离这个点最远的点就是直径的一段。

分两种情况。

情况一：x点位于直径上。
在直径上的话图大概是长这样的。
直径的一段(y) 若干节点 选取的点(x) 若干节点 直径的另一段(z)
x → y x→y x→y和 x → z x→z x→z中必然有一个是较长的，y或z中的一个也肯定是距离x最远的点。

你可能会担心：要是有另外一个点w是距离x最远的点呢？
其实这个担心是多余的。
按刚才所想的那样，现在有三条路通向x节点，分别是：x->y（长度为a），x->z（长度为b），x->w（长度为c）。
我们要选择其中最长两条相连接作为直径。
若c>a或c>b，那么最长的两条就是(c,a)或者(c,b)了，而不是命题中所提到的 ( y → x → z ) (y→x→z) (y→x→z)这条路。

情况二：x点位于直径外。
其实这个证明方法与情况一相似，只需要注意一点：将x->y或x->z转化为另一条路径（先到直径上的一点再到直径的端点）即可。

②：知道了直径的一段，选最远的一个点，相连即为直径。

这个就不用证明了吧，就是定义啊。

三、计算树的直径的代码

这里就需要一个重要的函数——用于计算距离最远的点。
可以用 d f s dfs dfs实现。因为这道题的特殊性，所以树要用无向图存储。所以还要加一个参数 l a s t last last，表示上一次遍历的点，下一次就不能访问了，否则会导致死循环。
代码：

int point, mx = -1;
void dfs(int u, int last, int dis){if(dis > mx){mx = dis;point = u;}for(int i = 0; i < G[u].size(); i++){int v = G[u][i].first;int w = G[u][i].second;if(v == last)continue;dfs(v, u, dis + w);}
}

调用时很简单：

dfs(1, -1, 0);
mx = -1;//这是一个易错点，要记得初始化。
dfs(point, -1, 0);
cout << mx << endl;

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