[unknown OJ] 客星璀璨之夜

一、题目

点此看题

二、解法

这个样例我佛了，第二个等差数列，第三个等等差数列，没把我考试的错误测出来。

直接讲正解，设dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]为行星iii到jjj，把他们撞完的期望距离和，理解一下这个状态，首先一定会剩下一个恒星，记第iii行星左边的恒星是iii，这样无论怎么撞都不会撞出恒星[i,j+1][i,j+1][i,j+1]

考虑转移，我们严格按照题目要求进行，枚举当前状态下第一个去撞击的行星，枚举他往左边撞还是右边撞，这样就产生了2(j−i+1)2(j-i+1)2(j−i+1)种等概率的情况，这是左边的情况：
dp[i][j]=dp[i][k−1]+dp[k+1][j]+y[k]−E[i][k−1]dp[i][j]=dp[i][k-1]+dp[k+1][j]+y[k]-E[i][k-1]dp[i][j]=dp[i][k−1]+dp[k+1][j]+y[k]−E[i][k−1]这是右边的情况：dp[i][j]=dp[i][k−1]+dp[k+1][j]+E[k+1][j]−y[k]dp[i][j]=dp[i][k-1]+dp[k+1][j]+E[k+1][j]-y[k]dp[i][j]=dp[i][k−1]+dp[k+1][j]+E[k+1][j]−y[k]其中E[i][j]E[i][j]E[i][j]是[i,j][i,j][i,j]中期望剩下来的位置，转移（左还是右，等概率）：
E[i][j]=E[i][k−1]+E[k+1][j]2(j−i+1)E[i][j]=\frac{E[i][k-1]+E[k+1][j]}{2(j-i+1)}E[i][j]=2(j−i+1)E[i][k−1]+E[k+1][j]注意E[i+1][i]E[i+1][i]E[i+1][i]是有意义的，他表示第i+1i+1i+1个恒星的位置，暴力做时间复杂度是O(n3)O(n^3)O(n3)的，观察发现好像可以用前缀和之类的东西优化，所以时间复杂度O(n2)O(n^2)O(n2)

还有另一种思路，没有实现，但是贴一个讲解
贴一个巨佬的博客，好像讲了这种做法：https://www.cnblogs.com/Arextre/p/13775589.html

#include <cstdio>
const int M = 3005;
const int MOD = 998244353;
#define int long long
int read()
{int x=0,f=1;char c;while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') f=-1;while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}return x*f;
}
int n,ans,inv[M],x[M],y[M],py[M],dp[M][M],E[M][M];
int s1[M][M],s2[M][M],pre[M][M],suf[M][M];
signed main()
{//freopen("3.in","r",stdin);//freopen("stars.out","w",stdout);n=read();inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=n+1;i++)inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;for(int i=1;i<=n;i++){x[i]=read();y[i]=read();py[i]=(py[i-1]+y[i])%MOD; }x[n+1]=read();E[1][0]=x[1];for(int i=1;i<=n;i++)E[i+1][i]=x[i+1];for(int i=n;i>=1;i--)for(int j=i;j<=n;j++){/*for(int k=i;k<=j;k++){E[i][j]=(E[i][j]+(E[i][k-1]+E[k+1][j])*inv[2])%MOD;dp[i][j]=(dp[i][j]+2*(dp[i][k-1]+dp[k+1][j]))%MOD;dp[i][j]=(dp[i][j]+y[k]-E[i][k-1])%MOD;dp[i][j]=(dp[i][j]+E[k+1][j]-y[k])%MOD;}E[i][j]=E[i][j]*inv[j-i+1]%MOD;dp[i][j]=dp[i][j]*inv[j-i+1]%MOD*inv[2]%MOD;*/pre[i][j]=(pre[i][j-1]+E[i][j-1])%MOD;suf[j][i]=(suf[j][i+1]+E[i+1][j])%MOD;E[i][j]=(pre[i][j]+suf[j][i])*inv[j-i+1]%MOD*inv[2]%MOD;dp[i][j]=(dp[i][j]+2*(s1[i][j-1]+s2[j][i+1]))%MOD;dp[i][j]=(dp[i][j]+(py[j]-py[i-1])-pre[i][j])%MOD;dp[i][j]=(dp[i][j]+suf[j][i]-(py[j]-py[i-1]))%MOD;dp[i][j]=dp[i][j]*inv[j-i+1]%MOD*inv[2]%MOD;s1[i][j]=(s1[i][j-1]+dp[i][j])%MOD;s2[j][i]=(s2[j][i+1]+dp[i][j])%MOD; }printf("%lld\n",(dp[1][n]+MOD)%MOD);
}