什么是前缀和

前缀和（Prefix Sum）的定义为：对于一个给定的数列 A, 它的前缀和数列 S 是通过递推能求出来得 $S[i] = \sum_{j = 1}^{i}A[j]$ 部分和。

例如：

$A[5, 6, 7, 8] = PrefixSum[5, 11, 18, 26]\\ PrefixSum[0] = A[0]\\ PrefixSum[1] = A[0] + A[1]\\ PrefixSum[2] = A[0] + A[1] + A[2]\\ PrefixSum[3] = A[0] + A[1] + A[2] + A[3]\\ ...\\ PrefixSum[n] = A[0] + A[1] + A[2] + A[3] + ... + A[n]$

C++实现

//假设数组a和前缀和数组s都已经定义
int i;
//初始条件
a[0] = 0;
s[0] = 0;
for (i=1; i<=n; i++) {cin >> a[i];s[i] = s[i-1] + a[i];
}

模板题

下面我们用一个模板题，将完整的一维数组前缀和做一个简单的展示。题目链接http://47.110.135.197/problem.php?id=5181。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int main() {int n;cin >> n;int data;int ans[102] = {};for (int i=1; i<=n; i++) {cin >> data;ans[i] = ans[i-1] + data;}for (int i=1; i<=n; i++) {cout << ans[i] << " ";}cout << endl;return 0;
}

用途

前缀和是一种重要的预处理，能大大降低查询的时间复杂度。

前缀和是以求和的方式灵活地面对区间询问。

下面我们用一个模板题来说明。

例题：区间求和

给你一串长度为 n 的数列 a1, a2, a3, ..., an，再给出 m 个询问，每次询问给出 L, R 两个数，要求给出区间 [L, R] 里的数的和。

详细可以参看http://47.110.135.197/problem.php?id=5139。

题目分析

题目非常简单，我们也可以得到一个最简单的解法，暴力操作。也就是对应每个询问，我们都从 L 开始到 R 结束对这个区间的数据进行求和。基本的代码如下：

#include <iostream>using namespace std;const int MAXN = 1e5+2;
long long arr[MAXN] = {};int main() {int n;cin >> n;int i, j;for (i=1; i<=n; i++) {cin >> arr[i];}int m;int l, r;long long ans = 0;cin >> m;for (i=0; i<m; i++) {cin >> l >> r;ans = 0;for (j=l; j<=r; j++) {ans += arr[j];}cout << ans << endl;}return 0;
}

代码分析

从上面的代码非常明确的分析出来，代码的时间复杂度为 $O(n * m)$ 。也就是说，在比赛中这样的解法能否 AC，那就要看数据的量了。当然我们都知道这样的解法，比赛中是肯定不可能 AC。因此唯一的可能就是降低时间复杂度。方法就是使用前缀和。

我们先看前缀和的数学。数列A中某个下标区间 [l, r] 内的数的和定义为：

$sum[l, r] = \sum_{i = l}^{r}A[i]\\ = a[l] + a[l+1] + \cdots + a[r]\\ = S[r] - S[l-1]$

从上面推导，我们可以清晰的看出，前缀和和区间和的关系。

代码改进

#include <iostream>using namespace std;const int MAXN = 1e5+2;
long long arr[MAXN] = {};
long long sum[MAXN] = {};int main() {int n;cin >> n;int i, j;for (i=1; i<=n; i++) {cin >> arr[i];sum[i] = sum[i-1] + arr[i];}int m;int l, r;cin >> m;for (i=0; i<m; i++) {cin >> l >> r;cout << sum[r] - sum[l-1] << endl;}return 0;
}

代码分析

从上面的代码非常明确的分析出来，代码的时间复杂度为 $O(n)$ 。

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