有趣的数学问题-鸽巢原理

鸽巢原理，也称抽屉原理。形象地说明一下：假设有n个鸽笼，有kn+1只鸽子，将所有的鸽子都放入笼子里，那么至少有一个笼子最少装有k+1只鸽子。

常见形式：

1、把多于n+1只鸽子放到n个笼子里，则至少有一个笼子里不少于两只鸽子。

2、把多于m*n只鸽子放到n个笼子里，则至少有一个笼子里有不少于m+1只鸽子。

3、把m*n-1只鸽子放到n个笼子中，其中必须有一个笼子至多有m-1只鸽子。

相关趣味数学题：

1）同一年出生的400人中至少有2个人的生日相同。

2）幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理。

从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔）、（兔、熊猫）、（兔、长颈鹿）、（熊猫、熊猫）、（熊猫、长颈鹿）、（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据形式1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同。

3）从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。

能构成34的偶数对为（4，30）、（6，28）、（8,26）、（10，24）、（12，22）、（14,20）、（16,18）共7对，这样还剩下一个2无法组队。取9个数，假如取2，剩下的数便从7个偶数对中选取8个，将偶数对看作抽屉，选取的8个数看作物品，类似于形式1。所以任意选9个数，必有两个数之和为34。

4）从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。

分析与解答根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10个抽屉（显然，它们具有上述性质）：
{1，2，4，8，16}，{3，6，12}，{5，10，20}，{7，14}，{9，18}，{11}，{13}，{15}，{17}，{19}。
从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理，至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系，所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数。
5）某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。

共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次。不管是前一种状态0、1、2、…、n-2，还是后一种状态1、2、3、…、n-1，握手次数都只有n-1种情况。把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。

6）15个网球分成数量不同的4堆，数量最多的一堆至少有多少个球？

15可分拆多少种4个互不相同的整数之和，而15=1+2+3+9=1+2+4+8=1+2+5+7=1+3+4+7=1+3+5+6=2+3+4+6，所以最多一堆的球数可能是9、8、7、6，其中至少有6个。

7）证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。

在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数。根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同。我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉。任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。

8）对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除。

任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉：【0】、【1】、【2】

若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2的数)，我们从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3,4,5)，其和(3+4+5=12)必能被3整除。

若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉至少包含有3个余数（抽屉原理），即一个抽屉包含1个余数，另一个包含4个，或者一个包含2个余数另一个抽屉包含3个。从余数多的那个抽屉里选出三个余数，其代数和或为0，或为3，或为6，均为3的倍数，故所对应的3个自然数之和是3的倍数。

若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，从此抽屉中任意取出三个余数，同情况②，余数之和可被3整除，故其对应的3个自然数之和能被3整除。

9）任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数。

注意到这些数除以10的余数即个位数字，以0，1，…，9为标准制造10个抽屉，标以[0]，[1]，…，[9]。若有两数落入同一抽屉，其差是10的倍数，只是仅有7个自然数，似不便运用抽屉原则，再作调整：[6]，[7]，[8]，[9]四个抽屉分别与[4]，[3]，[2]，[1]合并，则可保证至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是10的倍数。

10）正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同。

正方形有6个面由最多[(m-1)÷n]+1，得出[(6-1)÷2]+1=[2.5]+1=3。

11）有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.根据抽屉原理，至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

12）木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色不相同，则最少要取出多少个球？

把3种颜色看作3个抽屉，要符合题意，则小球的数目必须大于7，故至少取出8个小球才能符合要求。

13）一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？

点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。

14）11名学生到老师家借书，老师是书房中有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。

若学生只借一本书，则不同的类型有A、B、C、D四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。

15）有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。

设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。

16）一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？

根据抽屉原理，当每次取出4张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张，按此类推，当取出12张牌时，则至少可以保障每种花色一样三张，但还要加上大小怪，所以当抽取第15张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有4张牌是同一种花色。

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