【高等代数】线性空间的定义

八条运算法则：

1. $\alpha +\beta =\beta +\alpha$ (加法交换律）

2. $(\alpha +\beta) +\gamma =\alpha+(\beta +\gamma )$ (加法结合律）

3.定义 $0$ （零元素）， $0+\alpha =\alpha$

4.定义负元素 $\alpha +\beta =0$ $\beta =-\alpha$

5. $1\alpha =\alpha$

6. $k(l\alpha) =(kl)\alpha$ （乘法结合律）

7. $(k+l)\alpha=k\alpha +l\alpha$

8. $k(\alpha +\beta )=k\alpha +k\beta$

线性空间的定义：V是一个非空集合，P是一个数域。先定义好加法（任意两项相加，和一定存在且唯一）和数乘（任意数与项相乘，积一定存在且唯一）运算。如果加法和数乘运算满足八条运算法则，则V是P上的线性空间。

一些线性空间：

数域P，按自身的加法与乘法，构成自身上的线性空间

元素属于数域P的m×n矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法，构成P上线性空间，记为 $P^{m\times n}$

全体实函数，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间

数域P上的一元多项式环 $P[x]$ ，按多项式的加法与数乘，构成P上的线性空间

线性子空间：

如果线性空间 $V$ 的非空子集合 $W$ 对于 $V$ 的加法和数乘是封闭的，那么 $W$ 是一个线性子空间

两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价

$L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)$ 的维数等于向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的秩

子空间的交与和：

$V_1+ V_2=\{\alpha_1+\alpha_2|\alpha _1\in V_1, \alpha_2\in V_2 \}$

$dim(V_1)+dim(V_2) =dim(V_1+ V_2)+dim(V_1\cap V_2)$

如果 $V_1,V_2$ 是 $V$ 的子空间，那么 $V_1\cap V_2,V_1+ V_2$ 也是 $V$ 的子空间

$V_1\bigoplus V_2$ ：

$\alpha_1+\alpha_2=0,\alpha_i\in V_i,i=1,2$ 只在 $\alpha_i$ 全为零向量时成立 $\Leftrightarrow V_1\cap V_2=\{0\}$

$\alpha= \alpha_1+\alpha_2$ $\alpha_i$ 是唯一的

如果 $V_1,V_2$ 是 $V$ 的子空间 , 若 $W=V_1+V_2$ 且 $dim(W)=dim(V_1)+dim(V_2)$

则 $W=V_1\bigoplus V_2$

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