SP11 FCTRL - Factorial

题目

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题意

T 组数据，每组数据输入一个 N，求 Z（N）。

Z（N）是 N 的阶乘的末尾的零的个数。

N<=1e9

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思路

根据数据范围可以判定不可以暴力求解，为规律题。
打表找规律，发现
#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define int long long
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
typedef long long ll;signed main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);int t;cin >> t;for (int i = 1; i <= t; i++){int ans = 1;for (int j = 1; j <= i; j++){ans = ans * j;}cout << ans << endl;}return 0;
}
1:1
2:2
3:6
4:24
5:120
6:720
7:5040
8:40320
9:362880
10:3628800
11:39916800
12:479001600
13:6227020800
14:87178291200
15:1307674368000
16:20922789888000
17:355687428096000
18:6402373705728000
19:121645100408832000
20:2432902008176640000
每 5 个数，末尾增加一个 0，但是不符合样例的输出结果。
从数学角度考虑，提出问题（什么时候才会产生 0？）

已知 10 = 2 * 5

阶乘可以表示为 1 * 2 * 3 * 4 * 5 ··· * n

2 可以用偶数来替代，数量足够多用来凑 10

则需要找到阶乘中 5 的个数，5 为质因数

已知 n / 5 可得 n 中有几个 5 组成（1-n 中是 5 的倍数的个数）

但需要考虑有两个 5 组成的数（25 = 5 * 5）

由此题目转化为求 n 的阶乘中质因数 5 的个数，为答案。

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坑点

暴力不可求解

需要考虑有两个质因数 5 的情况

从数学角度分析问题

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算法一：思维 + 数学

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时间复杂度

O ( N ) O(N) O(N)

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实现步骤

用 ans 累计质因数 5 的个数

n / 5 求 n 中 5 的个数，与 2 匹配，成为 10，作为末尾的 0

累计 n / 5 的结果继续 / 5，因为其结果仍然包含质因数 5

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代码

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define int long long
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
typedef long long ll;signed main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);int t;cin >> t;while (t--){int n;cin >> n;int ans = 0;while (1){ans += n / 5;n = n / 5;if (n < 5){break;}}cout << ans << endl;}return 0;
}

总结

数学思维好题，需要分析阶乘中末尾零由什么产生。

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坑点

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时间复杂度

实现步骤

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