算数平均数与几何平均数

文章目录

- 算数平均数与几何平均数
一、算数平均数
二、几何平均数
- 1.定义
- 2.几何意义
三、二者关系

一、算数平均数

算数平均数分为简单算数平均数与加权算术平均数。
简单算术平均：主要用于未分组的原始数据。设一组数据为x1x_1x1、x2x_2x2、x3x_3x3、…、xkx_kxk，得到简单算数平均M=x1+x2+x3+⋅⋅⋅+xkkM=\frac{x_1+x_2+x_3+···+x_k}{k}M=kx1+x2+x3+⋅⋅⋅+xk
加权算术平均：主要用于处理经分组整理的数据。设原始数据为被分成kkk组，各组的组中的值为x1x_1x1，x2x_2x2，…，xkx_kxk，各组的频数分别为f1f_1f1，f2f_2f2，…，fkf_kfk，得到
M=x1⋅f1+x2⋅f2+x3⋅f3+⋅⋅⋅+xk⋅fkf1+f2+f3+⋅⋅⋅+fkM=\frac{x_1·f_1+x_2·f_2+x_3·f_3+···+x_k·f_k}{f_1+f_2+f_3+···+f_k}M=f1+f2+f3+⋅⋅⋅+fkx1⋅f1+x2⋅f2+x3⋅f3+⋅⋅⋅+xk⋅fk

二、几何平均数

1.定义

几何平均数是对各变量值的连乘积开项数次方根。分为简单几何平均数和加权几何平均数。
简单几何平均数：设一组数据为x1x_1x1、x2x_2x2、x3x_3x3、…、xkx_kxk，计算得到简单几何平均数
Gn=x1x2x3⋅⋅⋅xkkG_n=\sqrt[k]{x_1x_2x_3···x_k}Gn=kx1x2x3⋅⋅⋅xk
加权几何平均数：设原始数据为被分成kkk组，各组的组中的值为x1x_1x1，x2x_2x2，…，xkx_kxk，各组的频数分别为f1f_1f1，f2f_2f2，…，fkf_kfk，得到
Gn=x1f1x2f2x3f3⋅⋅⋅xkfkf1+f2+f3+⋅⋅⋅+fkG_n=\sqrt[f_1+f_2+f_3+···+f_k]{x_1^{f_1}x_2^{f_2}x_3^{f_3}···x_k^{f_k}}Gn=f1+f2+f3+⋅⋅⋅+fkx1f1x2f2x3f3⋅⋅⋅xkfk

2.几何意义

作一正方形，使其面积等于以a,b为长宽的矩形，则该正方形的边长即为a、b的几何平均数。

几何平均：EF=CF⋅DFEF=\sqrt[]{CF·DF}EF=CF⋅DF，其中EFEFEF垂直于CDCDCD
算数平均：M=(CF+DF)/2M=(CF+DF)/2M=(CF+DF)/2

三、二者关系

算数平均值>几何平均值，即：
x1x2x3⋅⋅⋅xkk≤x1+x2+x3+⋅⋅⋅+xkk\sqrt[k]{x_1x_2x_3···x_k}\leq \frac{x_1+x_2+x_3+···+x_k}{k}kx1x2x3⋅⋅⋅xk≤kx1+x2+x3+⋅⋅⋅+xk
证明：
ln(x1x2x3⋅⋅⋅xkk)=1k(lnx1+lnx2+lnx3+⋅⋅⋅+lnxk)ln(\sqrt[k]{x_1x_2x_3···x_k})=\frac{1}{k}(lnx_1+lnx_2+lnx_3+···+lnx_k)ln(kx1x2x3⋅⋅⋅xk)=k1(lnx1+lnx2+lnx3+⋅⋅⋅+lnxk)
即证，1k(lnx1+lnx2+lnx3+⋅⋅⋅+lnxk)≤ln(x1+x2+x3+⋅⋅⋅+xkk)\frac{1}{k}(lnx_1+lnx_2+lnx_3+···+lnx_k)\leq ln(\frac{x_1+x_2+x_3+···+x_k}{k})k1(lnx1+lnx2+lnx3+⋅⋅⋅+lnxk)≤ln(kx1+x2+x3+⋅⋅⋅+xk)
由于f(x)=ln(x)f(x)=ln(x)f(x)=ln(x)在其定义域为凸函数，根据Jensen不等式
1nf(x1)+1nf(x2)+1nf(x3)+⋅⋅⋅+1nf(xn)≤f(x1+x2+x3+⋅⋅⋅+xnn)\frac{1}{n}f(x_1)+\frac{1}{n}f(x_2)+\frac{1}{n}f(x_3)+···+\frac{1}{n}f(x_n)\leq f(\frac{x_1+x_2+x_3+···+x_n}{n})n1f(x1)+n1f(x2)+n1f(x3)+⋅⋅⋅+n1f(xn)≤f(nx1+x2+x3+⋅⋅⋅+xn)
上式得证。

算数平均数与几何平均数相关推荐

几何平均数与算数平均数
1.各个观测值总和除以观测值的个数,为算数平均数. 2.资料中n个观测值相乘之积开n次方根,为几何平均数
详解集中量数（各类平均数：平均数、几何平均数、调和平均数）
本章节主要讲解一些常见的集中量数计算方法.意义及特点,计算方法,同时会给出R语言计算代码,向大家分享. 使用的教材是: 张厚粲<现代心理与教育统计学>第四版,对应着的是第三章题主也是一个 ...
c++多数据平均数_定量分析中的几个概念-平均数、算数平均数、调和平均数以及权重及应用...
定量分析中常用的几个概念: 1)平均数(average) l 是统计学中最常用的统计量,用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置.在畜牧业.水产业生产实践和科学研究中,平均数被广泛用来描述或比较各 ...
算数-平均数、中位数和众数平均数
平均数.中位数和众数平均数 flyfish 2015-11-10 笔记平均数(average,arithmetic mean):若干个数的平均数,是用这些数的和除以数的个数. 中位数(median) ...
如何评估AI在医学影像识别中的应用效果？
基于人工智能(AI)技术的医学影像识别越来越受到社会各界的重视.而人工智能技术的进步,往往被归纳为几个性能指标,这样一来,AI技术的性能指标自然也就成为大家谈论和关注的焦点之一.实践中存在多种衡量AI ...
一文详尽混淆矩阵、准确率、精确率、召回率、F1值、P-R 曲线、ROC 曲线、AUC 值、Micro-F1 和 Macro-F1
文章目录二分类的评价指标一.混淆矩阵与 TP.TN.FP.FN 二.准确率.精确率.召回率.F1值三.P-R 曲线四.ROC 曲线.AUC 值五.P-R曲线和ROC曲线有什么区别,如何选择? ...
Precision（精准率） and Recall（召回率）
在机器学习系统设计的时候会遇到一类数据集:Skewed Classes .这意味着在分类时一种类别比其他的类别多的多. 会出现的情况:构建的模型的精确度(代价) 甚至不如直接将其全部分为数量多的那个类 ...
【课程笔记】计算机体系结构复习笔记
文章目录第一章基本原理计算机系统层次与体系结构测量及分析性能计算机设计量化原理计算机体系结构分类第二章指令集体系结构指令集分类存储器地址的翻译寻址模式优化指令格式指令集操作 ...
统计学习二：数据的描述性统计
参加此统计学习小组主要是巩固 python 语言,故所有笔记都以 python 代码实现. 完整代码见 github : StatisticLearning 如何描述数据的分布?可以从以下三个方面来描 ...
准确率、精确率、召回率、F1-score
准确率.精确率.召回率.F1-score 概念理解准确率(accuracy) 精确率(也叫查准率,precision) 召回率(也叫查全率,recall) F1-score 概念理解 TP(True ...

算数平均数与几何平均数

算数平均数与几何平均数

文章目录

一、算数平均数

二、几何平均数

1.定义

2.几何意义

三、二者关系

算数平均数与几何平均数相关推荐

最新文章

热门文章