概率论基础-严士健第二版习题与补充3.2答案

概率论基础-严士健第二版习题与补充3.2答案
1.fff为非负简单函数，即f=∑j=1nxjχAjf = \sum_{j=1}^n x_j \chi_{A_j}f=∑j=1nxjχAj，则
∫fdμ=∫fd(a1μ1+a2μ2)=∫∑j=1nxjχAjd(a1μ1+a2μ2)=∑j=1nxj(a1μ1+a2μ2)(Aj)=∑j=1nxj(a1μ1(Aj)+a2μ2(Aj))=∑j=1nxja1μ1(Aj)+∑j=1nxja2μ2(Aj)=a1∑j=1nxjμ1(Aj)+a2∑j=1nxjμ2(Aj)=a1∫∑j=1nxjχAjdμ1+a2∫∑j=1nxjχAjdμ2=a1∫fdμ1+a2∫fdμ2\int fd\mu = \int f d(a_1\mu_1 + a_2\mu_2) = \int \sum_{j=1}^n x_j \chi_{A_j}d(a_1\mu_1 + a_2\mu_2) = \sum_{j=1}^n x_j(a_1\mu_1 + a_2\mu_2)(A_j)= \sum_{j=1}^n x_j(a_1\mu_1(A_j) + a_2\mu_2(A_j)) = \sum_{j=1}^n x_ja_1\mu_1(A_j) + \sum_{j=1}^n x_ja_2\mu_2(A_j)=a_1 \sum_{j=1}^n x_j\mu_1(A_j) +a_2 \sum_{j=1}^n x_j\mu_2(A_j)=a_1 \int \sum_{j=1}^n x_j \chi_{A_j}d\mu_1 +a_2 \int \sum_{j=1}^n x_j \chi_{A_j}d\mu_2 = a_1 \int fd\mu_1 +a_2 \int fd\mu_2∫fdμ=∫fd(a1μ1+a2μ2)=∫∑j=1nxjχAjd(a1μ1+a2μ2)=∑j=1nxj(a1μ1+a2μ2)(Aj)=∑j=1nxj(a1μ1(Aj)+a2μ2(Aj))=∑j=1nxja1μ1(Aj)+∑j=1nxja2μ2(Aj)=a1∑j=1nxjμ1(Aj)+a2∑j=1nxjμ2(Aj)=a1∫∑j=1nxjχAjdμ1+a2∫∑j=1nxjχAjdμ2=a1∫fdμ1+a2∫fdμ2
fff关于μ1,μ2\mu_1, \mu_2μ1,μ2的积分存在，则∫∣f∣dμ1<∞,∫∣f∣dμ1<∞\int |f| d\mu_1 < \infty, \int |f| d\mu_1 < \infty∫∣f∣dμ1<∞,∫∣f∣dμ1<∞, 由上式得∫∣f∣dμ<∞\int |f| d\mu < \infty∫∣f∣dμ<∞,即fff关于μ\muμ积分存在.
fff为非负函数，存在一列非负递增的简单函数fn↑ff_n \uparrow ffn↑f，由单调收敛定理即证。
fff为一般函数，则f=f+−f−f = f^+ - f^-f=f+−f−即可。
tips：主要是简单函数的证明，虽然明显，但是要严格的写出来。
2.由于∣g∣≥0|g| \geq 0∣g∣≥0，故而：
a∣g∣≤f∣g∣≤b∣g∣a|g| \leq f|g| \leq b|g|a∣g∣≤f∣g∣≤b∣g∣。由于ggg关于μ\muμ可测，则∫a∣g∣≤∫f∣g∣≤∫b∣g∣\int a|g| \leq \int f|g| \leq \int b|g|∫a∣g∣≤∫f∣g∣≤∫b∣g∣。故存在某个常数c∈[a,b]c \in [a,b]c∈[a,b]有：
∫f∣g∣=c∫∣g∣\int f|g| = c\int |g|∫f∣g∣=c∫∣g∣.
3.由于f,gf,gf,g是取有限值的简单函数，假设fff关于μ\muμ可积，设g=∑i=1naiχAig = \sum_{i=1}^n a_i \chi_{A_i}g=∑i=1naiχAi，其中a1,…,ana_1, \dots, a_na1,…,an有限，不妨设M=max⁡{a1,…,an}M = \max\{a_1, \dots, a_n\}M=max{a1,…,an}，从而fg≤Mffg \leq Mffg≤Mf可知fgfgfg可积。
4.∞>∫f+≥∫∣f∣≥∫∣f∣≥ϵ∣f∣≥ϵμ(∣f∣≥ϵ)∀ϵ>0.\infty > \int f_+ \geq \int |f| \geq \int_{|f| \geq \epsilon} |f| \geq \epsilon \mu(|f| \geq \epsilon) \forall \epsilon > 0.∞>∫f+≥∫∣f∣≥∫∣f∣≥ϵ∣f∣≥ϵμ(∣f∣≥ϵ)∀ϵ>0.所以∞≥μ(∣f∣≥ϵ).\infty \geq \mu(|f| \geq \epsilon).∞≥μ(∣f∣≥ϵ).
5.由于∅\empty∅中的点的个数为0，从而μ(∅)=0.\mu(\empty) = 0.μ(∅)=0.
由于∅⊂A\empty \subset A∅⊂A从而μ(A)≥0.\mu(A) \geq 0.μ(A)≥0.
设A1,A2…A_1, A_2 \dotsA1,A2…是一列互不相交的集合，且对应点的个数分别为m1,m2,…m_1, m_2, \dotsm1,m2,…，从而∪i=1∞Ai\cup_{i=1}^{\infty} A_i∪i=1∞Ai中点的个数为∑i=1∞mi\sum_{i=1}^{\infty}m_i∑i=1∞mi.则μ(∪i=1∞Ai)=∑i=1∞mi=∑i=1∞μ(Ai)\mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty}m_i = \sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)μ(∪i=1∞Ai)=∑i=1∞mi=∑i=1∞μ(Ai)。故(Ω,A,μ)(\Omega, \mathscr{A}, \mu)(Ω,A,μ)是一个测度空间。
6.给定A={ω}A = \{\omega\}A={ω}，令P(A)=a,P(Ac)=1−aP(A) = a, P(A^c) = 1 -aP(A)=a,P(Ac)=1−a，则∫fdν=∫fdδA=f(ω)=∫gdν=∫gdδA=g(ω).\int fd\nu = \int f d\delta_A = f(\omega) = \int gd\nu = \int g d\delta_A = g(\omega).∫fdν=∫fdδA=f(ω)=∫gdν=∫gdδA=g(ω).由于ω\omegaω的任意性，从而f(ω)=g(ω).f(\omega) = g(\omega).f(ω)=g(ω).

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