[51Nod 1035 最长的循环节] 循环小数的性质

知识点：数论 循环小数の性质 欧拉公式

1. 题目链接##

[51Nod 1035 最长的循环节]

2. 题意描述

正整数k的倒数1/k，写为10进制的小数如果为无限循环小数，则存在一个循环节，求<=n的数中，倒数循环节长度最长的那个数，假如存在多个最优的答案，输出所有答案中最大的那个数。
1/6= 0.1(6) 循环节长度为1
1/7= 0.(142857) 循环节长度为6
1/9= 0.(1) 循环节长度为1
(10≤n≤1000)(10\le n\le 1000)

3. 解题思路

首先，需要介绍一下循环小数的几个性质。证明论文《康明昌-循环小数》

循环小数的每个循环节长度为偶数，（记为2k2k），那么每个循环节中第i（1≤i≤k）i（1\le i\le k）个数字 + 第(i+k)(i+k)个数字之和为99；

如果pp是质数，并且dd是1p\frac{1}{p}的循环节的位数，则dd可以整除p−1p-1；

如果1≤b<a1\le b\lt a， aa没有22或者55的质因数，并且aa与bb互质，那么ba\frac{b}{a}的循环节位数等于：min{e∈N:10e≡1(moda)}min\{ e\in N: 10^e \equiv 1(\mod a )\}；

如果1≤b<a1\le b\lt a， aa没有22或者55的质因数，并且aa与bb互质，那么ba\frac{b}{a}的循环节位数必整除ψ(a)(即a的欧拉函数)\psi(a)(即a的欧拉函数);

如果n,m≥3n, m\ge 3, 22和55都不整除mnmn,并且nn与mm是互质的正整数，则1mn\frac{1}{mn}的循环位数是1n\frac{1}{n}与1m\frac{1}{m}循环小数位数的最小公倍数;

…\dots…\dots，其他定理可以参考论文。

在这个题，我们需要用到的结论就是第3条。
需要特殊处理的是，分母含22或55的因数。如1235\frac{1}{235}。可以先将22或55的因数提出来：

1235=15∗47=247∗110

\frac{1}{235}=\frac{1}{5*47}=\frac{2}{47} * \frac{1}{10}
1235\frac{1}{235}的循环位数是跟 247\frac{2}{47}是一样多的。而 247\frac{2}{47}循环位数也正是 147\frac{1}{47}的循环位数。
数据比较小，所以暴力枚举 e<script type="math/tex" id="MathJax-Element-218">e</script>即可。

4. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef pair<int, int> PII;const int MAXN = 1000 + 5;int n;int q_pow(int a, int b, int mod) {int ret = 1;while(b > 0) {if(b & 1) ret = ret * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return ret;
}int calc(int x) {while((x & 1) == 0) x >>= 1;while(x % 5 == 0) x /= 5;if(x == 1) return 1;int e = 1;while(q_pow(10, e, x) != 1) e ++;return e;
}PII ans[MAXN];
void init() {ans[1] = PII(1, 0);for(int i = 2; i < MAXN; i++) {int z = calc(i);if(ans[i - 1].second <= z) ans[i] = PII(i, z);else ans[i] = ans[i - 1];}
}int main() {
#ifdef ___LOCAL_WONZY___freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif // ___LOCAL_WONZY___init();while(~scanf("%d", &n)) {printf("%d\n", ans[n].first);}return 0;
}