今天带学生做练习，遇到一个循环小数的问题：

题目：0.0909090…的循环节是(  )。

A.09       B.90       C.090      D.9090

不少学生选择B项90，习题答案也给了B项，我思考了下，纠正为A项。

这个地方有些别扭，不好解释，也没那么重要，所以当时只做了纠正，没有仔细讲解。孰料晚上刘雨菲在家订正此题，探索了一番，似乎网上主流答案跟我说的不一样，于是发信息请我再次确认一下。刘雨菲是个好孩子，积极乐观，好学善思，有领导力，前程远大，她既然问了，我当慎重对待，因作此文。

0.0909090…，看到这样一个循环小数，我们的着眼点先是在“…”符号上，然后顺着符号向前看，看到了“90”在交替出现，于是下意识地以为“90”就是小数的循环节。这是产生错漏的主要原因——思维倾向型错漏。比如，一学生初学某生字，默写时写错了，瞄了一眼同桌，嗨！奇了怪了，竟然错得一模一样。再看看前后左右，吆——大家一个老师教的呀！其实不是老师教错了，而是这个生字，结构有悖常识，也可以说跟我们的常规思维倾向相悖，若是不特意提点，多数人都会这么错。

循环节的这个地方，就是如此。别说学生了，不少老师理解得都不对，进而教错。我说自己对了，有着多方面的论证辨析，你且听我道来，看看是否有道理。

首先，我们来看循环小数和循环节的定义：

一个小数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。

一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。

(注：以上两个定义，专门翻书部编版五年级上册数学课本)

我们来看定义中的“从某一位起”四个字，“0.0909090…”这个小数的小数部分，从哪一位起，开始依次不断重复的？无可置疑，十分位！最先重复的是“0”，从十分位上的“0”开始，依次不断重复“09”这个数字。因此，我说“09”是这个循环小数0.0909090…的循环节。

其次，从循环小数的细分定义，也可证明这一点。

循环小数又可分为纯循环小数和混循环小数。

从小数部分第一位开始的循环小数，称为纯循环小数，如0.333…，0.4545…，0.925925…等。

从十分位后开始循环的小数，称为混循环小数，如0.1666…，0.010909…,0.00909…等。

以上两个定义，我们可以换一种说法：从十分位开始算循环节的小数，是纯循环小数，从十分位后开始循环的小数，是混循环小数。

请您来说，0.0909090…这个小数，是不是纯循环小数？当然是，从第一位小数就开始循环了。既然是纯循环小说，那么循环节就可以说是“09”。

再次，从转化分数的角度来看，也可证明。纯循环小数化作分数的方法非常简单：循环节做分子，连写几个9作分母，循环节有几位写几个九(注：转化原理用文字语言来说比较绕，在此暂且不谈)。例：——循环节的位数有一个，所以写一个9；

——3位循环节写3个9。

不管是“09”还是“90”，都是两位。以“09”来说，0.0909090…等于九十九分之九，也就是十一分之一。按一下计算器，1除以11正是0.0909090…这个循环小数。若是“90”呢，九十九分之九十吗？那就等于十一分之十了，似乎错了，与原小数不相等了。

当然了，其实以“90”为循环节，实际上是把0.0909090…当作了混循环小数，需要其他更加复杂的方法转化，转化出来的分数，也还是十一分之一。然而那却把简单问题复杂化了，不符合数学的最简便定律。

从这个角度上来看，“09”还是比“90”更加正宗。

最后，从循环小数的简便形式上来说，还得是“09”。简单来说，以简便形式写作0.0909090…为零点零九，零和九顶上点两个点。假如写作零点零九零，九和零的上面点点，那也太不简便，绝对就是错误了。这么一看，循环节还是“09”，也只能是“09”。

综上所述，我想0.0909090…的循环节是“09”这个问题已经很清楚了。之所以不少人将它的循环节错认为“90”，是因为原小数的表示“不明确”，它写了3.5个循环节(为什么循环节一定要写整数个，这是一种误解，换个长一点的，说不定还有2.78个、3.615个呢)，容易让人识别为混循环小数，进而把“90”当作它的循环节。

文章的末尾，出个很有意思的“脑筋转不过弯”，让您愣怔一下，它跟芝诺的“永远追不乌龟”(阿基里斯悖论)有关，烧烧你的脑，也显显我很有文化，这个弯是这样的：

一个蛋糕分三块，每块三分之一，三分之一换算成循环小数就是0.333…。也就是说，每块蛋糕0.333…，三块蛋糕，就是乘以三，得到0.999…

——哎呀，怎么回事？0.999…个蛋糕，不等于一个蛋糕吧？怎么就不够一个蛋糕了呢？懵了吧，剩下那一点点点点点……哪里去了？