OpenFOAM中重力的植入方式

考虑重力的NS方程可以写为：
ρ∂u⃗∂t+ρ∇(u⃗u⃗)=∇(μ∇u⃗)−∇P+ρg⃗(1)\rho \frac{\partial \vec u}{\partial t}+\rho \nabla(\vec u \vec u)=\nabla(\mu\nabla \vec u)-\nabla P +\rho \vec g \tag {1}ρ∂t∂u+ρ∇(uu)=∇(μ∇u)−∇P+ρg(1)在openFOAM中，许多求解器中都耦合了重力，以interFoam为例，其中的重力定义处的代码块为：

  fvc::reconstruct((mixture.surfaceTensionForce()- ghf*fvc::snGrad(rho)- fvc::snGrad(p_rgh)) * mesh.magSf()

将其中的重力抽离出来，其表达式为fvc::reconstruct( (ghf*fvc::snGrad(rho) ）* mesh.magSf() )。通过溯源代码，我们可以进一步得到其中ghf的表达式：

new surfaceScalarField
("ghf",(gFluid[i] & fluidRegions[i].Cf()) - ghRef
)

其中gFluid[i]返回了通过字典(constant/g)读取得到的重力加速度项，fluidRegions[i].Cf()返回了当前网格表面的面心矢量,ghRef是给定的相对重力加速度，一般为0。综上所述，openFOAM中的重力的表达式为：G⃗=−(g⃗⋅s⃗)∇ρ(2)\vec G=-(\vec g \cdot \vec s)\nabla \rho\tag {2}G=−(g⋅s)∇ρ(2)其中s⃗\vec ss是待求点的位置矢量，这显然与方程1使用的重力表达式相差很大，接下来我们就一步一步推导这个结果。
首先明确，在涉及到重力的求解器中，其求解的压力p并不是总压P，而是动压，即：P=p+ρg⃗⋅s⃗(3)P=p+\rho \vec g \cdot \vec s\tag {3}P=p+ρg⋅s(3)之所以要这样处理是为了方便用户设置初场，大家可以设想最简单的溃坝算例，如果直接对总压设置初场，那我们要设置的则是一个梯形的压力分布，计算域的y坐标越高其净水压强就越大，而如果我们拆分成动压和静压的形式，就可以直接设置初场为0了。可能有小伙伴对g⃗⋅s⃗\vec g \cdot \vec sg⋅s项不太理解，其实我们只要对其展开就很好说明问题了：g⃗⋅s⃗=(0,g,0)⋅(x,y,z)=gy(4)\vec g \cdot \vec s=(0,g,0)\cdot(x,y,z)=gy\tag {4}g⋅s=(0,g,0)⋅(x,y,z)=gy(4)在动量方程中，我们存在对总压的压力梯度项，将总压拆成静压和动压即可得到: ∇P=∇(p+ρg⃗⋅s⃗)=∇p+∇(ρg⃗⋅s⃗)=∇p+(g⃗⋅s⃗)∇ρ+ρ∇(g⃗⋅s⃗)(5)\nabla P=\nabla (p+\rho \vec g \cdot \vec s)=\nabla p+\nabla(\rho \vec g \cdot \vec s)=\nabla p+ ( \vec g \cdot \vec s)\nabla\rho+\rho\nabla( \vec g \cdot \vec s)\tag {5} ∇P=∇(p+ρg⋅s)=∇p+∇(ρg⋅s)=∇p+(g⋅s)∇ρ+ρ∇(g⋅s)(5)其中关键点在于处理∇(g⃗⋅s⃗)\nabla(\vec g \cdot \vec s)∇(g⋅s)项,根据式4有:∇(g⃗⋅s⃗)=∇(gy)=(∂(gy)∂x,∂(gy)∂y,∂(gy)∂z)=(0,g,0)=g⃗(6)\nabla(\vec g \cdot \vec s)=\nabla (gy)=(\frac{\partial (gy)}{\partial x},\frac{\partial (gy)}{\partial y},\frac{\partial (gy)}{\partial z})=(0,g,0)=\vec g\tag {6}∇(g⋅s)=∇(gy)=(∂x∂(gy),∂y∂(gy),∂z∂(gy))=(0,g,0)=g(6)因此，式5最终写为：∇P=∇p+(g⃗⋅s⃗)∇ρ+ρ∇(g⃗⋅s⃗)=∇p+(g⃗⋅s⃗)∇ρ+ρg⃗(7)\nabla P=\nabla p+ ( \vec g \cdot \vec s)\nabla\rho+\rho\nabla( \vec g \cdot \vec s)=\nabla p+ ( \vec g \cdot \vec s)\nabla\rho+\rho \vec g\tag {7}∇P=∇p+(g⋅s)∇ρ+ρ∇(g⋅s)=∇p+(g⋅s)∇ρ+ρg(7)将式7带回方程1，即可得到OpenFOAM代码中使用的含重力的动量方程了：
ρ∂u⃗∂t+ρ∇(u⃗u⃗)=∇(μ∇u⃗)−∇p−(g⃗⋅s⃗)∇ρ(8)\rho \frac{\partial \vec u}{\partial t}+\rho \nabla(\vec u \vec u)=\nabla(\mu\nabla \vec u)-\nabla p - ( \vec g \cdot \vec s)\nabla\rho \tag {8}ρ∂t∂u+ρ∇(uu)=∇(μ∇u)−∇p−(g⋅s)∇ρ(8)

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