正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3507

题目大意

nnn个数字的一个序列aaa，对于每个位置iii求一个pip_ipi使得对于任意jjj满足
pi+ai−∣i−j∣≥pjp_i+a_i-\sqrt{|i-j|}\geq p_jpi+ai−∣i−j∣≥pj

解题思路

化简一下发现我们是需要求出max{∣i−j∣+pj}max\{\sqrt{|i-j|}+p_j\}max{∣i−j∣+pj}

分成两次去掉绝对值。
因为这个根号的性质是增长的越来越小，那么对于一个位置iii若它的maxmaxmax值位置为jjj，那么i+1i+1i+1就一定不小于jjj。

利用这个单调性来优化，我们每次直接对于区间正中间midmidmid暴力求出它的答案pospospos，那么[l,mid−1][l,mid-1][l,mid−1]的答案就在[L,pos][L,pos][L,pos]，而[mid+1,r][mid+1,r][mid+1,r]的答案就在[pos,R][pos,R][pos,R]。

然后递归下去就好了。时间复杂度O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stack>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e5+10;
ll n;double a[N],f[N],sqr[N];
stack<ll> s;
double count(ll i,ll j)
{return a[j]+sqr[abs(j-i)];}
void CDQ(ll l,ll r,ll L,ll R){if(l>r)return;ll mid=(l+r)>>1,pos=L;double tmp=count(mid,L);for(int i=L+1;i<=R&&i<=mid;i++)if(count(mid,i)>tmp)pos=i,tmp=count(mid,i);f[mid]=max(tmp,f[mid]);CDQ(l,mid-1,L,pos);CDQ(mid+1,r,pos,R);return;
}
signed main()
{scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++){scanf("%lf",&a[n-i+1]);sqr[i]=sqrt((double)i);}CDQ(1,n,1,n);for(ll i=1;n-i+1>i;i++)swap(a[i],a[n-i+1]),swap(f[i],f[n-i+1]);CDQ(1,n,1,n);for(ll i=1;i<=n;i++)printf("%lld\n",(ll)ceil(f[i]-a[i]));return 0;
}

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