luogu p3515 Lightning Conductor

给定一个长度为n的序列，对于每一个i∈[1,n]i∈[1,n]i∈[1,n]，求出一个最小的非负整数p，使得对于所有的j∈[1,n]j∈[1,n]j∈[1,n]，都有aj<=ai+p−∣i−j∣a_j<=a_i+p-\sqrt{|i-j|}aj<=ai+p−∣i−j∣

通过这个题学习到两点，一个是用分治的方法解决1D1D类型的四边形优化dp问题，另一个是根据凸性来得到四边形不等式。

稍微对于原来的式子做一点变化，可以得到：
pi=max(aj+∣i−j∣−ai)p_i = max(a_j+\sqrt{|i-j|} - a_i)pi=max(aj+∣i−j∣−ai)取相反数之后，pi=min(ai−aj−∣i−j∣)p_i=min(a_i-a_j-\sqrt{|i-j|})pi=min(ai−aj−∣i−j∣)其中−x-\sqrt{x}−x为下凸函数，所以可以满足决策单调性。

const int N = 500010, inf = 1e9, eps = 1e-6;
int a[N];
double ans[N];void solve1(int l, int r, int m_l, int m_r)
{if (l > r) return;if (l == r){for (int i = m_l; i <= min(m_r, l); i ++){double temp = a[i];temp += sqrt((double)l - i);ans[l] = max(ans[l], temp);}return;}int mid = (l + r) >> 1, k;double mx = -inf;for (int i = m_l; i <= min(m_r, mid); i ++){double temp = a[i];temp += sqrt((double)mid - i);if (temp > mx){mx = temp;k = i;}}ans[mid] = max(ans[mid], mx);solve1(l, mid - 1, m_l, k);solve1(mid + 1, r, k, m_r);return;
}void solve2(int l, int r, int m_l, int m_r)
{if (l > r) return;if (l == r){for (int i = m_r; i >= max(m_l, l); i --){double temp = a[i];temp += sqrt((double)i - l);ans[l] = max(ans[l], temp);}return;}int mid = (l + r) >> 1, k;double mx = -inf;for (int i = m_r; i >= max(mid, m_l); i --){double temp = a[i];temp += sqrt((double)i - mid);if (temp > mx){mx = temp;k = i;}}ans[mid] = max(ans[mid], mx);solve2(l, mid - 1, m_l, k);solve2(mid + 1, r, k, m_r);return;
}int main()
{int T = 1;//T = read();while (T --){int n;n = read();for (int i = 1; i <= n; i ++)a[i] = read();solve1(1, n, 1, n);solve2(1, n, 1, n);for (int i = 1; i <= n; i ++)printf ("%d\n", (int)ceil(ans[i] - (double)a[i]));}return 0;
}

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