bzoj 2216: [Poi2011]Lightning Conductor（DP决策单调性）

2024-05-02 16:46:24

2216: [Poi2011]Lightning Conductor

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Description

已知一个长度为n的序列a1,a2,...,an。
对于每个1<=i<=n，找到最小的非负整数p满足对于任意的j, aj < = ai + p - sqrt(abs(i-j))

Input

第一行n，(1<=n<=500000)
下面每行一个整数，其中第i行是ai。(0<=ai<=1000000000)

Output

n行，第i行表示对于i，得到的p

Sample Input

6

5 3 2 4 2 4

Sample Output

2 3 5 3 5 4

式子转化一下，把p拉到左边

题目要找最小的非负整数p使得对于所有的j∈n都满足上面公式，那么可以得出

也就是找出最优决策点j满足a[j]-a[i]+sqrt(|i-j|)最大

1D/1D动态规划模型，而且因为更号函数差分后单调递减，很容易证明决策单调性

不过这题不同的是，一般都是j=1到j=i-1，而这个是j=1到j=n，所以要正着反正各求一次最大

也可以写个像http://blog.csdn.net/jaihk662/article/details/78178729这题一样的二分

具体看程序

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[500005];
double dp1[500005], dp2[500005];
void Sech(int l, int r, int L1, int R1, int L2, int R2)
{int i, m, x1, x2;if(l>r)return;m = (l+r)/2;dp1[m] = dp2[m] = -2147400000;for(i=L1;i<=min(m,R1);i++){if(a[i]+sqrt(m-i)>=dp1[m])dp1[m] = a[i]+sqrt(m-i), x1 = i;}for(i=R2;i>=max(m,L2);i--){if(a[i]+sqrt(i-m)>=dp2[m])dp2[m] = a[i]+sqrt(i-m), x2 = i;}Sech(l, m-1, L1, x1, L2, x2);Sech(m+1, r, x1, R1, x2, R2);
}
int main(void)
{int n, i;scanf("%d", &n);for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d", &a[i]);Sech(1, n, 1, n, 1, n);for(i=1;i<=n;i++)printf("%d\n", (int)(ceil(max(dp1[i], dp2[i]))-a[i]));return 0;
}

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