线性规划中的灵敏度分析

一、灵敏度分析介绍

线性规划模型都假定参数是已知的或确定的，然后有时候很难确切地知道这些参数，这些参数也会随着市场、技术的变化相应变化，并最终导致模型的最优解发生变化。

因此，分析参数变化对模型最优解的影响非常重要。这种分析称为灵敏度分析或what-if分析。

灵敏度分析主要有两种：目标式系数的变化和约束右端值的变化。

二、案例

1. 问题

某陶瓷公司是一家手工艺制造公司，生产陶制的碗和杯子，使用两大主要资源是粘土和有技艺的劳动力，公司想知道每天生产多少数量的碗和杯子可以最大化利润？

产品	资源需求
产品	劳动力 (小时/单位)	黏土 (磅/单位)	利润 (美元/单位)
碗	1	4	40
杯子	2	3	50
资源限制	40小时	120磅

2. 线性规划模型

3. 模型的运行结果及灵敏度报告

运行结果报告

灵敏度报告

三、报告分析

1. 由运行结果报告得到最优解为(24,8)，即碗生产24个、杯子生产8个可使利润达到最高的1360美元。

2. 当目标式系数中碗的利润在范围（即[40-15,40+26.67]）内变化时，最优解(24,8)不会改变。

同理，当目标式中杯子的利润在范围[30,80]（即[50-20,50+30]）内变化时，最优解(24,8)不会改变。

注：上述结论的前提是只有其中一个系数变动时才有效，如果多个同时变动时要满足百分之百法则。

3. 由灵敏度报告知，当线性规划模型达到最优解(24,8)时，资源(劳动力和黏土)的使用量分别为(40,120)。当劳动力在范围 [30,80]（即[40-10,40+40]）变化时，最优解不会改变，而且劳动力资源在此范围内每变化一个单位，最优值z会变化16个单位（即劳动力的影子价格）；当黏土在范围[60,160]（即[120-60,120+40]）变化时，最优解不会改变，而且黏土资源在此范围内每变化一个单位，最优值z会变化6个单位（即黏土的影子价格）。

四、目标式系数同时变化的百分之百法则

1. 概念

如果目标函数的系数同时变动，计算出每一系数变动量占该系数允许变动量的百分比(允许增加、允许减少分别对待)；

将各个系数的变动百分比相加，如果所得的和不超过百分之一百，最优解不会改变；如果超出百分之一百，则不能确定最优解是否改变。

2. 举例

当碗和杯子的单位利润的估计值由(40,50)改为(50,45)时，则碗的单位利润增加量占其允许增量的百分比为(50-40)/26.7=37%；杯子的单位利润减少量占其允许减量的百分比(50-45)/20=25%。

二者之和为37%+25%=62%，因此最优解不变。

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