非线性系统分岔分析：分岔是一种力学状态在临界点处发生突变的行为。数学上通常用非线性微分方程描述相关行为。

研究分岔现象的特性和产生机理的数学理论。对于某些完全确定的非线性系统，当系统的某一参数μ连续变化到某个临界值μc时，系统的全局性性态(定性性质、拓扑性质等)会发生突然变化。μc称为参数μ 的分岔值或分支值。这种现象称为分岔现象，是一种有重要意义的非线性现象。

1. 切分岔

微分方程

其中为控制参数，改微分方程的平衡点为

当时不存在奇点；当时有两个平衡点。其中稳定，另外一个不稳定。对应分岔图如图1所示：

clear allclcmu=-2:0.01:5;y1=sqrt(mu);y2=-sqrt(mu);plot(mu,real(y1),'linewidth',2)hold onplot(mu,real(y2),'--','linewidth',2)text(3,sqrt(3)+0.3,'\mu^{1/2}')text(3,-sqrt(3)-0.3,'-\mu^{1/2}')set(gca,'ytick',[])

2 转换键型分岔

有微分方程

得到稳定点有 , 其稳定性分岔图如图2所示。

3. 叉式分岔

以经典的为例. 上图分别对应两种情况讨论.

如果，则有两个平衡点是稳定的(用稳定性的图形分析来显示，一个不稳定

平衡x=0。相反，如果，则只有一个稳定的平衡点x=0。下面给出分岔相图.

clear allsubplot(121)mu=1;x=[-1.5:0.01:1.5];y=mu*x-x.^3;plot(x,y,'k','linewidth',2)xlabel('x')ylabel('f(x)')title('\mu > 0')hold on, plot([-1.5 1.5],[0 0],'k')hold on, plot([0 0],[-2 2],'k')mu=-1;x=[-1.5:0.01:1.5];y=mu*x-x.^3;subplot(122)plot(x,y,'k','linewidth',2)xlabel('x')ylabel('f(x)')title('\mu < 0')hold on, plot([-1.5 1.5],[0 0],'k')hold on, plot([0 0],[-5 5],'k')

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