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目的

通过实现数学建模教材 P103 课后习题为例介绍如何使用 Lingo 软件设计线性规划求解模型。

习题

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税、此外还有以下限制：
（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；
（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

表1证券信息

证券名称	证券种类	信用等级	到期年限	到期税前收益/%
A	市政	2	9	4.3
B	代办机构	2	15	5.4
C	政府	1	4	5.0
D	政府	1	3	4.4
E	市政	5	2	4.5

（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券 A 的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券 C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

解答

问题（1）

设证券 A、B、C、D、E 的购买数值分别为 x₁ 、x₂、x₃、x₄、x₅ 万元，根据题目已知限制，建立如下约束条件：
{x2+x3+x4≥4002x1+2x2+x3+x4+5x5x1+x2+x3+x4+x5≤1.49x1+15x2+4x3+3x4+2x5x1+x2+x3+x4+x5≤5\left \{\begin{array}{ll}x_2+x_3+x_4\geq400&\\ &\\ \dfrac{2x_1+2x_2+x_3+x_4+5x_5}{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}\le1.4&\\ &\\ \dfrac{9x_1+15x_2+{4x}_3+3x_4+2x_5}{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}\le5 \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x2+x3+x4≥400x1+x2+x3+x4+x52x1+2x2+x3+x4+5x5≤1.4x1+x2+x3+x4+x59x1+15x2+4x3+3x4+2x5≤5
添加约束条件：x1+x2+x3+x4+x5=1000x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1000x1+x2+x3+x4+x5=1000
此时收益表示为(4.3x1+4.5x5+(5.4x2+5.0x3+4.4x4)×0.5)100\frac{(4.3x_1+4.5x_5+(5.4x_2+5.0x_3+4.4x_4 )×0.5)}{100}100(4.3x1+4.5x5+(5.4x2+5.0x3+4.4x4)×0.5)
应用 Lingo 软件，输入约束如下图1，运行结果如下图2，根据运行结果可知，证券 A 投资218.18万元，证券 C 投资736.36万元，证券 E 投资45.45万元，证券 B 和 D 不投资，收益为29.84万元。

问题（2）

设借贷 y 万元，添加约束条件：x1+x2+x3+x4+x5=1000+yx_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1000+yx1+x2+x3+x4+x5=1000+y
此时收益表示为(4.3x1+4.5x5+(5.4x2+5.0x3+4.4x4)×0.5)100−0.0275y\frac{(4.3x_1+4.5x_5+(5.4x_2+5.0x_3+4.4x_4 )×0.5)}{100}-0.0275y100(4.3x1+4.5x5+(5.4x2+5.0x3+4.4x4)×0.5)−0.0275y
约束如下图3，运行结果如下图4，易知，y=100时，即全部借贷时收益最大，为30.07万元，此时证券 A 投资240万元，证券 C 投资810万元，证券 E 投资50万元。

问题（3）

添加约束条件：x1+x2+x3+x4+x5=1000x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1000x1+x2+x3+x4+x5=1000
A 的税前收益增加为4.5%时收益表示为(4.5x1+4.5x5+(5.4x2+5.0x3+4.4x4)×0.5)100\frac{(4.5x_1+4.5x_5+(5.4x_2+5.0x_3+4.4x_4 )×0.5)}{100}100(4.5x1+4.5x5+(5.4x2+5.0x3+4.4x4)×0.5)
Lingo软件运行结果如下图5，易知，A 的税前收益增加为4.5%时投资不发生改变。

C 的税前收益减小为4.8%时收益表示为(4.3x1+4.5x5+(5.4x2+4.8x3+4.4x4)×0.5)100\frac{(4.3x_1+4.5x_5+(5.4x_2+4.8x_3+4.4x_4 )×0.5)}{100}100(4.3x1+4.5x5+(5.4x2+4.8x3+4.4x4)×0.5)
Lingo软件运行结果如下图6，易知，C 的税前收益减小为4.8%时，证券 A 投资336万元，证券 D 投资648万元，证券 E 投资16万元，证券 B 和 C 不投资，收益为29.424万元。

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Lingo 实现线性规划求解模型

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问题（3）

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