泛函分析 04.05 有界线性算子 - 闭算子与闭图像定理

§4.5闭算子与闭图像定理 \color{blue}{\S 4.5 闭算子与闭图像定理}

▶闭线性算子是一类非常重要的线性算子,它有与连续性算子“相近”的性质, \blacktriangleright {\color{red}{闭线性算子}}是一类非常重要的线性算子,它有与{\color{blue}{连续性算子“相近”的性质}},
微分算子就是一类闭线性算子. {\color{red}{微分算子}}就是一类闭线性算子.

4.5.1闭算子的定义 \color{blue}{4.5.1 闭算子的定义}

定义4.5.1设X,X 1 是赋范空间,T是从X中到X 1 中的定义 4.5.1 设 X, X_1 是赋范空间, T是从X 中到 X_1中的
线性算子,考虑乘积空间线性算子, 考虑{\color{green}{乘积空间}}
X×X 1 ={(x,y)|x∈X,y∈X 1 }, \qquad X \times X_1 = \lbrace (x, y) | x \in X, y \in X_1 \rbrace,
∙在其上定义范数: \bullet 在其上{\color{green}{定义范数}}:
对于任意的z=(x,y)∈X×X 1 ,令对于任意的 z = (x, y) \in X \times X_1, 令
∥z∥=∥(x,y)∥=∥x∥+∥y∥ 1 (4.5.1) \qquad \Vert z \Vert = \Vert (x, y) \Vert = \Vert x \Vert + \Vert y \Vert_1 \quad (4.5.1)
∗容易验证:X×X 1 是赋范空间; \ast 容易验证: X \times X_1 {\color{blue}{是赋范空间}};
∙若X和X 1 是Banach空间,且X×X 1 也是Banach空间.令 \bullet 若X 和 X_1 是 Banach 空间, 且 X \times X_1也是{\color{red}{Banach 空间}}. 令
G(T)={(x,Tx)∈X×X 1 |x∈D(T)}(4.5.2) \qquad G(T) = \lbrace (x, Tx) \in X \times X_1 | x \in \mathscr{D}(T) \rbrace \quad (4.5.2)
称G(T)为算子T的图像称 G(T) 为 {\color{blue}{算子T的图像}}

定义4.5.2如果G(T)在乘积赋范空间X×X 1 中是闭的,则称T是闭算子. 定义 4.5.2 如果 G(T) 在乘积赋范空间 X \times X_1 中是闭的, 则称{\color{red}{T是闭算子}}.

定理4.5.3(闭算子的等价条件)设X,X 1 是赋范空间, 定理 4.5.3 ({\color{brown}{闭算子的等价条件}})设X, X_1是赋范空间,
T是从X到X 1 中的线性算子,则T是闭算子当且仅当 T是从X到X_1中的线性算子, 则T是闭算子当且仅当
对∀{x n }⊂D(T),x n →x∈X,及Tx n →y∈X 1 , {\color{blue}{对\forall \lbrace x_n \rbrace \subset \mathscr{D}(T), x_n \to x \in X, 及 Tx_n \to y \in X_1}},
必有x∈D(T),y=Tx. 必有{\color{red}{x \in \mathscr{D}(T), y = Tx}}.
证明:充分性. 证明:{\color{green}{充分性}}.
∙由定理的条件成立,证明G(T)是闭的,即证明 \bullet 由定理的条件成立,证明G(T)是闭的, 即证明
∀(x,y)∈G(T) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ⇒(x,y)∈G(T). \qquad {\color{blue}{\forall (x, y) \in \overline{G(T)} \Rightarrow (x, y) \in G(T)}}.
对于∀(x,y)∈G(T) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ,存在(x n ,y n )∈G(T),使得对于 \forall (x, y) \in \overline{G(T)}, 存在 (x_n, y_n) \in G(T), 使得
(x n ,y n )→(x,y)(n→∞) \qquad (x_n, y_n) \to (x, y)(n \to \infty)
因(x n ,y n )在T的图像中,故y n =Tx n ,即因{\color{blue}{(x_n, y_n) 在T的图像中}}, 故{\color{blue}{y_n = Tx_n}}, 即
(x n ,Tx n )∈G(T),(x n ,Tx n )→(x,y)(n→∞). {\color{red}{(x_n, Tx_n) \in G(T)}}, (x_n, Tx_n) \to (x, y) (n \to \infty).
根据乘积空间范数的定义有根据乘积空间范数的定义有
∥x n −x∥+∥Tx n −y∥→0(n→∞) \qquad \Vert x_n - x \Vert + \Vert Tx_n - y \Vert \to 0 (n \to \infty)
所以所以
∥x n −x∥→0,∥Tx n −y∥→0(n→∞), \qquad {\color{blue}{\Vert x_n - x \Vert \to 0, \Vert Tx_n - y \Vert \to 0(n \to \infty)}},
即x n →x,Tx n →y. 即\quad x_n \to x, Tx_n \to y.
由定理的条件可知 {\color{red}{由定理的条件}}可知
x∈D(T),y=Tx. \qquad x \in \mathscr{D}(T), y = Tx.
故(x,y)∈G(T),这就证了T是闭算子. {\color{blue}{故(x, y) \in G(T)}}, 这就证了T是闭算子.
必要性. {\color{green}{必要性}}.
∙已知T是闭的,要证明定理中的条件成立. \bullet 已知 T 是闭的, 要证明定理中的条件成立.
{x n }⊂D(T),x n →x,Tx n →y(n→∞), {\color{blue}{\lbrace x_n \rbrace \subset \mathscr{D}(T), x_n \to x, Tx_n \to y (n \to \infty) }} ,
则有x∈D(T),y=Tx. 则有{\color{red}{ x \in \mathscr{D}(T), y = Tx}}.
由条件有: 由条件有:
∥x n −x∥+∥Tx n −y∥→0(n→∞) \qquad \Vert x_n - x \Vert + \Vert Tx_n - y \Vert \to 0 (n \to \infty)
因而因而
(x n ,Tx n )→(x,y). \qquad (x_n, Tx_n) \to (x, y).
因为T是闭的,即G(T)是闭的,故(x,y)∈G(T),即因为 T 是闭的,{\color{blue}{即 G(T) 是闭的}}, 故{\color{green}{(x, y) \in G(T)}}, 即
x∈D(T),y=Tx. \qquad {\color{red}{x \in \mathscr{D}(T), y = Tx}}.
注1：可以把闭算子定义为: 注1：可以把{\color{blue}{闭算子定义为}}:
∙如果对于任意的 \bullet 如果对于任意的
{x n }⊂D(T),x n →x∈X,Tx n →y∈X 1 (4.5.3) \qquad \lbrace x_n \rbrace \subset \mathscr{D}(T), {\color{blue}{x_n \to x \in X, Tx_n \to y \in X_1}} \qquad (4.5.3)
⟹x∈D(T),且Tx=y(4.5.4) \qquad \Longrightarrow {\color{red}{x \in \mathscr{D}(T), 且 Tx = y}} \quad (4.5.4)
则称T是闭线性算子. 则称T是闭线性算子.
注2：由上述定义，显然定义在全空间上的有界(连续)线性算子一定是闭线性算子. 注2：由上述定义，显然定义在{\color{blue}{全空间}}上的{\color{blue}{有界}}(连续)线性算子一定是{\color{green}{闭线性算子}}.
注3：由式(4.5.3)、(4.5.4)可以看出,闭的线性算子与注3：由式(4.5.3)、(4.5.4)可以看出, {\color{blue}{闭的}}线性算子与
连续线性算子有很多“类似”的性质. {\color{blue}{连续}}线性算子有很多“类似”的性质.
注4：对于闭线性算子来说,在上述条件下,极限运算可以注4：对于{\color{red}{闭线性算子}}来说, 在上述条件下,极限运算可以
和算子交换顺序. 和算子{\color{blue}{交换顺序}}.
注5：在开映射定理中，T连续的条件可改为T是闭算子. 注5：在开映射定理中，{\color{brown}{T连续的条件可改为T是闭算子}}.
即: 即:
∙X,X 1 是Banach空间,T是在上的(TX=X 1 ), \bullet X, X_1 是 Banach 空间, T是在上的(TX = X_1),
T是闭算子,则T是开映射. T是闭算子, 则T是开映射.

4.5.2闭算子的例 \color{blue}{4.5.2 闭算子的例}

下面的例子说明: 下面的例子说明:
∙是否重要的无界线性算子——微分算子是闭算子 \bullet 是否重要的无界线性算子——{\color{blue}{微分算子是闭算子}}

例4.5.4X=C[0,1],D(T)=C 1 [0,1]≠X,定义例 4.5.4 X = C[0, 1], \mathscr{D}(T) = C^1[0, 1] \neq X, 定义
T:D(T)→C[0,1],T=ddt ,(4.5.5) \qquad T: \mathscr{D}(T) \to C[0, 1], T = \dfrac{d}{dt}, \quad (4.5.5)
则T是闭算子. 则T是闭算子.
分析:要证T是闭算子,即要证明:由分析:要证{\color{red}{T是闭算子}}, 即要证明:由
x n ∈D(T),x n →x,Tx n =ddt x n →y(n→∞), {\color{blue}{x_n \in \mathscr{D}(T), x_n \to x, \quad Tx_n = \dfrac{d}{dt} x_n \to y (n \to \infty) }},
可推出x∈D(T)且Tx=y. 可推出{\color{red}{x \in \mathscr{D}(T) 且 Tx = y}}.
证明:(1)由于证明:(1)由于
∫ t 0 x ′ n (s)ds=∫ t 0 dx n (s)=x n (t)−x n (0), \int_0^t x_n^{\prime}(s) ds = \int_0^t d x_n(s) = x_n(t) - x_n(0),
∴lim n→∞ ∫ t 0 x ′ n (s)ds=lim n→∞ [x n (t)−x n (0)]=x(t)−x(0)(4.5.6) \therefore \lim \limits_{n \to \infty} \int_0^t x_n^{\prime}(s) ds = {\color{blue}{\lim \limits_{n \to \infty} [x_n(t) - x_n(0)] = x(t) - x(0) }}\quad (4.5.6)
(因为x n →x,一致收敛可推出点点收敛). (因为 x_n \to x, {\color{red}{一致收敛}}可推出点点收敛).
(2)因为x ′ n (s)→y(n→∞)是一致收敛(按范数收敛), (2)因为x_n^{\prime}(s) \to y (n \to \infty) 是{\color{red}{一致收敛}}(按范数收敛),
所以积分和极限可以交换顺序,结合(4.5.6)式,有所以积分和极限{\color{blue}{可以交换顺序}}, 结合(4.5.6)式, 有
x(t)−x(0)=lim n→∞ ∫ t 0 x ′ n (s)ds \qquad x(t) - x(0) = \lim \limits_{n \to \infty} \int_0^t x_n^{\prime}(s) ds
=∫ t 0 lim n→∞ x ′ n (s)ds=∫ t 0 y(s)ds. \qquad = {\color{blue}{\int_0^t \lim \limits_{n \to \infty} x_n^{\prime}(s) ds }} = \int_0^t y(s) ds.
即即
x(t)=x(0)+∫ t 0 y(s)ds, \qquad {\color{blue}{x(t) = x(0) + \int_0^t y(s) ds}} ,
于是x ′ (t)=y(t)∈C[0,1].所以x(t)∈C 1 [0,1],且于是 x^{\prime}(t) = y(t) \in C[0, 1].所以 x(t) \in C^{1}[0, 1],且
ddt x(t)=y(t),即Tx=y, \qquad {\color{red}{\dfrac{d}{dt} x(t) = y(t), 即 Tx = y}},
因而T是闭算子.但T是无界线性算子. 因而{\color{blue}{T是闭算子}}. 但T是{\color{blue}{无界线性算子}}.
▽从数学分析中函数项级数逐项求导的例子可以进一步地 \bigtriangledown 从数学分析中{\color{green}{函数项级数逐项求导}}的例子可以进一步地
体会闭算子的性质. 体会闭算子的性质.
例4.5.5设函数项级数∑ n=1 ∞ u n (x)满足: 例 4.5.5 设函数项级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) 满足:
(1)u n (x)(n=1,2,⋯)在[a,b]上连续可导; (1) u_n(x) (n = 1, 2, \cdots) 在[a, b]上连续可导;
(2)∑ n=1 ∞ u n (x)在[a,b]上点点收敛到S(x); (2) \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) 在[a, b] 上点点收敛到 S(x);
(3)∑ n=1 ∞ u ′ n (x)在[a,b]上一致收敛到σ(x) (3){\color{blue}{\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n^{\prime}(x) 在[a, b]上一致收敛到\sigma(x)}}
(由此可推出∑ n=1 ∞ u n (x)在[a,b]上一致收敛到S(x)); (由此可推出\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) 在[a, b]上{\color{red}{一致收敛}}到S(x));
则S(x)=∑ n=1 ∞ u n (x)在[a,b]可导,且则 S(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) 在[a, b]可导,且
ddx ∑ n=1 ∞ u n (x)=∑ n=1 ∞ ddx u n (x)(4.5.7) \qquad {\color{blue}{\dfrac{d}{dx} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{d}{dx} u_n(x) }} \quad (4.5.7)
即微分运算可以与无限求和运算交换顺序. 即{\color{red}{微分运算可以与无限求和运算交换顺序}}.
从泛函分析的角度看,上述条件相对于: 从{\color{green}{泛函分析的角度}}看, 上述条件相对于:
在C[a,b]空间中考虑, 在C[a, b]空间中考虑,
(1)函数项级数前n项和S n (x)=∑ k=1 n u k (x)在 (1) 函数项级数前 n 项和 S_n(x) = \sum \limits_{k=1}^n u_k(x)在
C[a,b]中按范数收敛到S(x), C[a, b]中按范数收敛到 S(x),
(2)ddx (S n (x))=∑ k=1 n ddx (u k (x))在C[a,b]中按范数收敛到σ(x), (2) \dfrac{d}{dx}(S_n(x)) = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{d}{dx}(u_k(x)) 在C[a, b]中{\color{blue}{按范数收敛}}到\sigma(x),
由于ddx 是闭算子,于是有σ(x)=ddx S(x),即: 由于\dfrac{d}{dx}是闭算子, 于是有 {\color{red}{\sigma(x) = \dfrac{d}{dx} S(x)}}, 即:
σ(x)=∑ n=1 ∞ ddx u n (x)=ddx ∑ n=1 ∞ u n (x), \qquad {\color{blue}{\sigma(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{d}{dx} u_n(x) = \dfrac{d}{dx}\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) }},
(4.5.7)式成立,微分可以和级数运算交换顺序. (4.5.7)式成立,微分可以和级数运算交换顺序.
注：可与数学分析(广义积分、含参变量积分)中有关求导数注：可与数学分析(广义积分、含参变量积分)中有关求导数
和极限交换顺序的有关定理相对照, 和极限交换顺序的有关定理相对照,
∙由于微分运算是闭算子(不是有界线性算子),这些定理中都有 \bullet 由于微分运算是闭算子(不是有界线性算子), 这些定理中都有
类似例4.5.5中条件(3)的要求, {\color{red}{类似例4.5.5中条件(3)}}的要求,
∙而对于积分和极限交换顺序则没有这样的要求. \bullet 而对于{\color{blue}{积分和极限交换顺序}}则没有这样的要求.

例4.5.6设函数项级数∑ n=1 ∞ u n (x)满足: 例 4.5.6 设函数项级数\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)满足:
(1)u n (x)(n=1,2,⋯)在[a,b]上连续; (1)u_n(x) (n = 1, 2, \cdots) 在 [a, b]上连续;
(2)∑ n=1 ∞ u n (x)在[a,b]上一致收敛到S(x); (2)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) 在[a, b]上{\color{blue}{一致收敛}}到S(x);
则S(x)=∑ n=1 ∞ u n (x)在[a,b]可积,且则S(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) 在 [a, b] 可积,且
∫ b a S(x)dx=∫ b a ∑ n=1 ∞ u n (x)dx=∑ n=1 ∞ ∫ b a u n (x)dx(4.5.8) \qquad {\color{blue}{\int_a^b S(x) dx = \int_a^b \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) dx = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \int_a^b u_n(x) dx }} \quad (4.5.8)
∙上述例子表明:在一致收敛(即在C[a,b]中按范数收敛) \bullet 上述例子表明: 在{\color{blue}{一致收敛}}(即在C[a, b]中{\color{red}{按范数收敛}})
的条件下,积分元素可以与无限求和运算交换顺序. 的条件下, 积分元素可以与无限求和运算{\color{blue}{交换顺序}}.
∙积分算子是有界(连续)线性算子. \bullet 积分算子是有界({\color{red}{连续}})线性算子.
∙微分算子是无界线性算子,但是它是闭算子. \bullet 微分算子是无界线性算子, 但是它是{\color{red}{闭算子}}.
∙微分与级数运算交换顺序比积分与级数运算交换顺序多了一个条件(3). \bullet 微分与级数运算交换顺序比积分与级数运算交换顺序多了一个{\color{blue}{条件(3)}}.

4.5.3闭图像定理 \color{blue}{4.5.3 闭图像定理}

定理4.5.7(闭图像定理)设T是Banach空间X上到定理 4.5.7 ({\color{blue}{闭图像定理}})设 T 是 Banach 空间 {\color{red}{X 上}}到
Banach空间X 1 中的闭线性算子,则T是有界线性算子. Banach 空间 {\color{red}{X_1 中}} 的 {\color{red}{闭线性算子}}, 则T是{\color{blue}{有界线性算子}}.
注:定理说明: 注:定理说明:
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ D(T)=X,X是Banach空间X 1 是Banach空间T闭 ⟹T有界. \left \lbrace \begin{array}{l}\mathscr{D}(T) = X, X 是 Banach 空间 \\ X_1 是Banach 空间 \\ T闭 \end{array} \right. \Longrightarrow {\color{blue}{T有界}}.
证明:(1)因X，X 1 是Banach空间,故X×X 1 是Banach空间. 证明:(1)因X，X_1 是 Banach 空间, 故 X \times X_1是 Banach 空间.
(2)因T是闭的,故G(T)是X×X 1 中的闭子空间, (2) 因 T 是闭的, 故G(T)是 X \times X_1 中的闭子空间,
从而知G(T)是一个Banach空间. 从而知{\color{red}{G(T) 是一个 Banach 空间}}.
(3)定义从G(T)上到X中的线性算子, (3)定义从 G(T) 上到 X 中的线性算子,
T ˜ :(x,Tx)→x. \qquad \widetilde T: (x, Tx) \to x.
T ˜ 是一对一在上的有界线性算子(∵D(T)=X). {\color{green}{\widetilde T 是一对一在上的有界线性算子}}(\because \mathscr{D}(T) = X).
所以T ˜  −1 存在, 所以 \widetilde T^{-1} 存在,
T ˜  −1 :x→(x,Tx). \qquad \widetilde T^{-1} : x \to (x, Tx) .
由Banach逆算子定理4.4.5可知T ˜  −1 :x→(x,Tx) {\color{red}{由 Banach 逆算子定理 4.4.5 可知}} \widetilde T^{-1} : x \to (x, Tx)
是有界的.于是是有界的. 于是
∥(x,Tx)∥=∥T ˜  −1 (x)∥≤∥T ˜  −1 ∥∥x∥, \qquad {\color{blue}{\Vert (x, Tx) \Vert = \Vert \widetilde T^{-1}(x) \Vert \leq \Vert \widetilde T^{-1} \Vert \Vert x \Vert}},
因为∥(x,Tx)∥=∥x∥+∥Tx∥,所以因为 \Vert (x, Tx) \Vert = \Vert x \Vert + \Vert Tx \Vert, 所以
∥Tx∥≤(∥T ˜ ∥ −1 −1)∥x∥, \qquad \Vert Tx \Vert \leq (\Vert \widetilde T \Vert ^{-1} - 1) \Vert x \Vert,
即T是有界线性算子. 即 T 是有界线性算子.
注1：定理的条件要求D(T)=X,这点十分重要,定义域注1：定理的条件要求{\color{red}{\mathscr{D}(T) = X}}, 这点十分重要, 定义域
D(T)是否是闭的,关系到T ˜  −1 是否有界. {\color{red}{\mathscr{D}(T)是否是闭的}}, 关系到 {\color{blue}{\widetilde T^{-1} 是否有界}}.
注2：注2：
∙Banach−Steinhaus共鸣定理(一致有界原则); \bullet {\color{green}{Banach-Steinhaus 共鸣定理(一致有界原则)}};
∙开映射定理、Banach逆算子定理、闭图像定理; \bullet {\color{blue}{开映射定理、Banach 逆算子定理、闭图像定理}};
∙Hahn−Banach线性泛函的拖延定理(见定理5.1.1), \bullet {\color{red}{Hahn-Banach 线性泛函的拖延定理}}(见定理5.1.1),
∗这几大定理是泛函分析的重要内容. \ast 这几大定理是泛函分析的重要内容.
∗这些定理在证明上有很高的技巧,应用十分广泛. \ast 这些定理在证明上有很高的技巧,应用十分广泛.