【中级计量经济学】Lecture 1 计量经济学初步

文章目录

Lecture 1 计量经济学初步
- 1.0 其他问题或归纳
- 1.1 一元线性回归计算
- - 模型估计
  - 检验与预测
- 1.2 多元线性回归模型
- - 参数估计与预测
  - 假设检验

Lecture 1 计量经济学初步

1.0 其他问题或归纳

ESS (Explained Sum of Squares) = SSR (Sum of Squares from Regression) 回归平方和

RSS (Residual Sum of Squares) = SSE (Sum of Squares from Errors) 残差平方和

TSS=ESS+RSS=SSR+SSE=SST

R2=ESSTSS=SSRSSTR^2=\frac{ESS}{TSS}=\frac{SSR}{SST}R2=TSSESS=SSTSSR

含对数形式的回归模型：

y=β0+β1xy=\beta_0+\beta_1xy=β0+β1x：Δx=1,Δy=β1\Delta x=1,\Delta y=\beta_1Δx=1,Δy=β1

y=β0+β1log⁡xy=\beta_0+\beta_1\log xy=β0+β1logx：Δx=1%,Δy=β1100\Delta x=1\%,\Delta y=\frac{\beta_1}{100}Δx=1%,Δy=100β1

log⁡y=β0+β1x\log y=\beta_0+\beta_1 xlogy=β0+β1x：Δx=1,Δy=100β1%\Delta x=1,\Delta y=100\beta_1\%Δx=1,Δy=100β1%

log⁡y=β0+β1log⁡x\log y=\beta_0+\beta_1\log xlogy=β0+β1logx：Δx=1%,Δy=β1%\Delta x=1\%,\Delta y=\beta_1\%Δx=1%,Δy=β1%

交互项：

C=α+βY+uC=\alpha+\beta Y+uC=α+βY+u

β=β1+β2Z\beta=\beta_1+\beta_2Zβ=β1+β2Z

⇒C=α+(β1+β2Z)Y+u=α+β1Y+β2YZ+u\Rightarrow C=\alpha+(\beta_1+\beta_2Z)Y+u=\alpha+\beta_1Y+\beta_2YZ+u⇒C=α+(β1+β2Z)Y+u=α+β1Y+β2YZ+u

刻画交互作用的方法，在变量为定性变量时，是以乘法方式引入虚拟变量的。

回归方程括号里的是回归系数的标准差Sβ^1S_{\hat\beta_1}Sβ^1，ttt统计量t=β^1σ^2∑xi2=β^1Sβ^1∼t(n−2)t=\frac{\hat\beta_1}{\sqrt{\dfrac{\hat\sigma^2}{\sum x_i^2}}}=\frac{\hat\beta_1}{S_{\hat\beta_1}}\sim t(n-2)t=∑xi2σ^2β^1=Sβ^1β^1∼t(n−2)

临界ttt统计量是双侧检验，临界值为tα/2(n)t_{\alpha/2}(n)tα/2(n)：

α=10%\alpha=10\%α=10%显著性水平，n=∞n=\inftyn=∞，tα/2(n)=t0.05(n)=1.645t_{\alpha/2}(n)=t_{0.05}(n)=1.645tα/2(n)=t0.05(n)=1.645

α=5%\alpha=5\%α=5%显著性水平，n=∞n=\inftyn=∞，tα/2(n)=t0.025(n)=1.96t_{\alpha/2}(n)=t_{0.025}(n)=1.96tα/2(n)=t0.025(n)=1.96

t统计量的绝对值大于临界值，拒绝原假设（H0:β1=0H_0:\beta_1=0H0:β1=0，解释变量的回归系数不显著），说明解释变量显著，通过显著性检验。

t统计量大于3一般都可以通过显著性检验，小于1一般无法通过显著性检验。
FFF统计量可以用拟合优度R2R^2R2以及样本数量nnn以及(显式)变量数kkk计算：
F=(TSS−RSS)/kRSS/(n−k−1)=R2/k(1−R2)/(n−k−1)F=\frac{(TSS-RSS)/k}{RSS/(n-k-1)}=\frac{R^2/k}{(1-R^2)/(n-k-1)} F=RSS/(n−k−1)(TSS−RSS)/k=(1−R2)/(n−k−1)R2/k
F统计量总是单变的，越大越显著。

古典线性回归模型的基本假定：

CLM1：参数线性关系

CLM2：随机样本，样本选择又变异性

CLM3：满秩（否则，存在多重共线性）

CLM4：误差项条件均值为零

（前提假设是误差项无条件均值为0且与解释变量无关，否则，存在内生性问题）

CLM5：误差项同方差和无自相关（否则，存在异方差和自相关）

CLM6：误差项正态分布

满足1-4，OLS估计无偏（异方差和自相关OLS仍然无偏）
满足1-5，OLS估计BLUS（最优线性无偏估计），估计量有效。（高斯马尔可夫定理）
满足1-6，古典线性回归模型的基本假定

1.1 一元线性回归计算

区分四个概念：

总体回归线：估计给定XXX时的条件期望。
f(X)=E(Y∣X)=β0+β1X.f(X)=E(Y|X)=\beta_0+\beta_1X. f(X)=E(Y∣X)=β0+β1X.
总体回归模型：用于描述每一个个体回归模型，加入了随机误差项。
Yi=β0+β1Xi+μi.Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\mu_i. Yi=β0+β1Xi+μi.
样本回归线：由样本计算出的用于估计总体回归线的函数。
Y^=β^0+β^1X.\hat{Y}=\hat\beta_0+\hat\beta_1X. Y^=β^0+β^1X.
样本回归模型：用于解释每一个样本的样本回归模型，加入了残差。
Yi=β^0+β^1X+ei.Y_i=\hat\beta_0+\hat\beta_1X+e_i. Yi=β^0+β^1X+ei.

模型估计

经典假设（前四条称高斯-马尔科夫假设）：

回归模型是正确设定的。
解释变量XXX在所抽取的样本中具有变异性，样本方差趋于非零常数。
对给定XXX的任何值，随机干扰项零均值：E(μi∣X)=0\mathrm{E}(\mu_i|X)=0E(μi∣X)=0。
对给定XXX的任何值，随机干扰项同方差、序列不相关：Var(μi∣X)=σ2\mathrm{Var}(\mu_i|X)=\sigma^2Var(μi∣X)=σ2，Cov(μi,μj∣X)=0\mathrm{Cov}(\mu_i,\mu_j|X)=0Cov(μi,μj∣X)=0。
随机干扰项服从零均值、同方差的正态分布：μi∣X∼N(0,σ2)\mu_i|X\sim N(0,\sigma^2)μi∣X∼N(0,σ2)。

正规方程组：
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估计量的离差形式与样本回归函数的离差形式：
β^1=∑xiyi∑xi2,β^0=Yˉ−β^1Xˉ;y^i=β^1xi.\hat\beta_1=\frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2},\quad \hat\beta_0=\bar{Y}-\hat\beta_1\bar{X};\\ \hat y_i=\hat\beta_1x_i. β^1=∑xi2∑xiyi,β^0=Yˉ−β^1Xˉ;y^i=β^1xi.
矩估计时的总体矩条件与对应的样本矩条件（矩条件将在工具变量法中发挥作用）：
E(μi)=0⇒1n∑(Yi−β^0−β^1Xi)=0;E(Xiμi)=0⇒1n∑(Yi−β^0−β^1Xi)Xi=0.\mathrm{E}(\mu_i)=0\Rightarrow \frac{1}{n}\sum(Y_i-\hat\beta_0-\hat\beta_1X_i)=0;\\ \mathrm{E}(X_i\mu_i)=0\Rightarrow \frac{1}{n}\sum(Y_i-\hat\beta_0-\hat\beta_1X_i)X_i=0. E(μi)=0⇒n1∑(Yi−β^0−β^1Xi)=0;E(Xiμi)=0⇒n1∑(Yi−β^0−β^1Xi)Xi=0.
最小二乘估计量具有线性性，无偏性，有效性（最小方差性）与大样本下的一致性。下面的结果将在预测问题中起到作用。
β^1=β1+∑xi∑xi2μi,Var(β^1)=σ2∑xi2;β^0=β0+∑(1n−xiXˉ∑xi2)μi,Var(β^0)=∑Xi2n∑xi2σ2;Cov(β^0,β^1)=−Xˉσ2∑xi2.\hat\beta_1=\beta_1+\sum \frac{ x_i}{\sum x_i^2}\mu_i,\quad \mathrm{Var}(\hat\beta_1)=\frac{\sigma^2}{\sum x_i^2};\\ \hat\beta_0=\beta_0+\sum\left(\frac{1}{n}-\frac{x_i\bar{X}}{\sum x_i^2} \right)\mu_i,\quad \mathrm{Var}(\hat\beta_0)=\frac{\sum X_i^2}{n\sum x_i^2}\sigma^2;\\ \mathrm{Cov}(\hat\beta_0,\hat\beta_1)=-\frac{\bar{X}\sigma^2}{\sum x_i^2}. β^1=β1+∑∑xi2xiμi,Var(β^1)=∑xi2σ2;β^0=β0+∑(n1−∑xi2xiXˉ)μi,Var(β^0)=n∑xi2∑Xi2σ2;Cov(β^0,β^1)=−∑xi2Xˉσ2.
随机干扰项的方差估计，这是假设检验、预测置信区间的基础：
σ^2=∑ei2n−2,Sβ^1=σ^2∑xi2.\hat\sigma^2=\frac{\sum e_i^2}{n-2},\quad S_{\hat\beta_1}=\sqrt{\frac{\hat\sigma^2}{\sum x_i^2}}. σ^2=n−2∑ei2,Sβ^1=∑xi2σ^2.

σ^2=RSSn−k−1\hat\sigma^2=\frac{RSS}{n-k-1}\\ σ^2=n−k−1RSS

是σ2\sigma^2σ2的一致估计量。对于一元线性回归k=1k=1k=1.
Sβ^1=σ^2∑xi2=σ^2TSS(1−R2)S_{\hat\beta_1}=\sqrt{\frac{\hat\sigma^2}{\sum x_i^2}}=\sqrt{\frac{\hat\sigma^2}{TSS(1-R^2)}} Sβ^1=∑xi2σ^2=TSS(1−R2)σ^2

检验与预测

平方和分解式：在最小二乘估计下，有
TSS=RSS+ESS.\mathrm{TSS}=\mathrm{RSS}+\mathrm{ESS}. TSS=RSS+ESS.

TSS\mathrm{TSS}TSS：总离差平方和(total sum square)，即∑yi2\sum y_i^2∑yi2，其自由度为n−1n-1n−1，nnn是样本数。
RSS\mathrm{RSS}RSS：残差平方和(residual sum square)，即∑ei2\sum e_i^2∑ei2，其自由度为n−k−1n-k-1n−k−1，kkk为变量数，一元线性回归中k=1k=1k=1。
ESS\mathrm{ESS}ESS：回归平方和(explained sum square)，即∑y^i2\sum \hat y_i^2∑y^i2，其自由度为kkk，kkk为变量数。

拟合优度：
R2=ESSTSS=TSS−RSSTSS.R^2=\frac{\mathrm{ESS}}{\mathrm{TSS}}=\frac{\mathrm{TSS}-\mathrm{RSS}}{\mathrm{TSS}}. R2=TSSESS=TSSTSS−RSS.
用拟合优度的观点来看，拟合优度反映拟合的优良程度，故拟合得越好R2R^2R2越大。为计算，有
R2=∑y^i2∑yi2=β^12∑xi2∑yi2.R^2=\frac{\sum \hat y_i^2}{\sum y_i^2}=\frac{\hat\beta_1^2\sum x_i^2}{\sum y_i^2}. R2=∑yi2∑y^i2=∑yi2β^12∑xi2.
ttt检验：一元线性回归中的ttt检验基于变量服从的分布β^1∼N(β1,σ2∑xi2)\hat\beta_1\sim N(\beta_1,\dfrac{\sigma^2}{\sum x_i^2})β^1∼N(β1,∑xi2σ2)，构造检验H0:β1=0H_0:\beta_1=0H0:β1=0，对未知的σ2\sigma^2σ2，用服从χ2(n−2)\chi^2(n-2)χ2(n−2)分布的σ^2\hat\sigma^2σ^2替代，故检验统计量为
t=β^1σ^2∑xi2=β^1Sβ^1∼t(n−2).t=\frac{\hat\beta_1}{\sqrt{\dfrac{\hat\sigma^2}{\sum x_i^2}}}=\frac{\hat\beta_1}{S_{\hat\beta_1}}\sim t(n-2). t=∑xi2σ^2β^1=Sβ^1β^1∼t(n−2).

大样本情形下，近似有β^1−β1Sβ^1∼N(0,1)\frac{\hat \beta_1-\beta_1}{S_{\hat \beta_1}}\sim N(0,1)Sβ^1β^1−β1∼N(0,1)，而ttt分布大样本下接近正态分布，也可以说β^1−β1Sβ^1∼t(n−k−1)\frac{\hat \beta_1-\beta_1}{S_{\hat \beta_1}}\sim t(n-k-1)Sβ^1β^1−β1∼t(n−k−1)

置信区间：β^1±tα2(n−2)⋅Sβ^1\hat\beta_1\pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n-2)\cdot S_{\hat\beta_1}β^1±t2α(n−2)⋅Sβ^1。

对条件均值的预测：Y^0=β^0+β^1X0\hat Y_0=\hat \beta_0+\hat \beta_1X_0Y^0=β^0+β^1X0，
E(Y^0)=E(Y0∣X0)=β0+β1X0,Var(Y^0)=Var(β^0)+X02Var(β^1)+2X0Cov(β^0,β^1)=(∑Xi2n∑xi2+X02∑xi2−2X0Xˉ∑xi2)σ2=(∑xi2n+Xˉ2+X02−2X0Xˉ)σ2∑xi2=[1n+(Xˉ−X0)2∑xi2]σ2.SE(Y0^)=σ1n+(X0−Xˉ)2∑xi2\mathrm{E}(\hat Y_0)=\mathrm{E}(Y_0|X_0)=\beta_0+\beta_1X_0,\\ \begin{aligned} \mathrm{Var}(\hat{Y}_0)&=\mathrm{Var}(\hat\beta_0)+X_0^2\mathrm{Var}(\hat\beta_1)+2X_0\mathrm{Cov}(\hat\beta_0,\hat\beta_1)\\ &=\left(\frac{\sum X_i^2}{n\sum x_i^2}+\frac{X_0^2}{\sum x_i^2}-\frac{2X_0\bar{X}}{\sum x_i^2}\right)\sigma^2\\ &=\left(\frac{\sum x_i^2}{n}+\bar{X}^2+X_0^2-2X_0\bar{X} \right)\frac{\sigma^2}{\sum x_i^2}\\ &=\left[\frac{1}{n}+\frac{(\bar{X}-X_0)^2}{\sum x_i^2} \right]\sigma^2. \end{aligned}\\ \mathrm{SE}(\hat{Y_0})=\sigma\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(X_0-\bar{X})^2}{\sum{x_i^2}}} E(Y^0)=E(Y0∣X0)=β0+β1X0,Var(Y^0)=Var(β^0)+X02Var(β^1)+2X0Cov(β^0,β^1)=(n∑xi2∑Xi2+∑xi2X02−∑xi22X0Xˉ)σ2=(n∑xi2+Xˉ2+X02−2X0Xˉ)∑xi2σ2=[n1+∑xi2(Xˉ−X0)2]σ2.SE(Y0^)=σn1+∑xi2(X0−Xˉ)2
当σ2\sigma^2σ2未知时，用σ^2=∑ei2n−2\hat{\sigma}^2=\sum\frac{e_i^2}{n-2}σ^2=∑n−2ei2代替，此时有Y0^\hat{Y_0}Y0^服从ttt分布，将其标准化，
t=Y0^−E(Y0∣X0)σ^1n+(X0−Xˉ)2∑xi2∼t(n−2)t=\frac{\hat{Y_0}-\mathrm{E}(Y_0|X_0)}{\hat{\sigma}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(X_0-\bar{X})^2}{\sum x_i^2}}}\sim t(n-2) t=σ^n1+∑xi2(X0−Xˉ)2Y0^−E(Y0∣X0)∼t(n−2)

对个别值的预测：Y0=β0+β1X0+μY_0=\beta_0+\beta_1X_0+\muY0=β0+β1X0+μ，从而它是无偏估计，且
Var(Y0)=[1+1n+(Xˉ−X0)2∑xi2]σ2.\mathrm{Var}(Y_0)=\left[1+\frac{1}{n}+\frac{(\bar{X}-X_0)^2}{\sum x_i^2} \right]\sigma^2. Var(Y0)=[1+n1+∑xi2(Xˉ−X0)2]σ2.

1.2 多元线性回归模型

总体回归模型中包含了nnn个方程，从而Y,μY,\muY,μ是nnn维向量，β\betaβ是k+1k+1k+1维向量，XXX是(k+1)×n(k+1)\times n(k+1)×n矩阵。
Y=Xβ+μ,Y=X\beta+\mu, Y=Xβ+μ,

参数估计与预测

基本假设：

回归模型是正确设定的。
X1,⋯,XkX_1,\cdots,X_kX1,⋯,Xk在抽取的变量中具有变异性，且不存在完全的多重共线性。
rank(X)=k+1.\mathrm{rank}(X)=k+1. rank(X)=k+1.
随机干扰项条件零均值。
E(μ∣X)=0.\mathrm{E}(\mu|X)=0. E(μ∣X)=0.
随机干扰项条件同方差、序列不相关。
Var(μ∣X)=σ2In.\mathrm{Var}(\mu|X)=\sigma^2I_n. Var(μ∣X)=σ2In.
随机干扰项服从条件正态分布。
μ∣X∼Nn(0,σ2In).\mu|X\sim N_n(0,\sigma^2I_n). μ∣X∼Nn(0,σ2In).

参数估计量的估计：β^=(X′X)−1X′Y\hat\beta=(X'X)^{-1}X'Yβ^=(X′X)−1X′Y。具有线性性、无偏性、有效性以及大样本下的一致性。
E(β^)=β,Var(β^)=σ2(X′X)−1.\mathrm{E}(\hat\beta)=\beta,\quad \mathrm{Var}(\hat\beta)=\sigma^2(X'X)^{-1}. E(β^)=β,Var(β^)=σ2(X′X)−1.
σ2\sigma^2σ2的估计：σ^2=e′en−k−1\hat\sigma^2=\dfrac{e'e}{n-k-1}σ^2=n−k−1e′e，kkk为模型中解释变量的个数。

满足基本要求的样本量：n≥3(k+1)n\ge 3(k+1)n≥3(k+1)，或n≥30n\ge 30n≥30。

求条件均值E(Y0)\mathrm{E}(Y_0)E(Y0)的置信区间：Y^0=X0β^\hat{Y}_0=X_0\hat\betaY^0=X0β^，故
E(Y^0)=X0β=E(Y0),Var(Y^0)=X0Var(β^)X0′=σ2X0(X′X)−1X0′,Y^0±tα2(n−k−1)Var(Y^0).\mathrm{E}(\hat{Y}_0)=X_0\beta=\mathrm{E}(Y_0),\\ \mathrm{Var}(\hat{Y}_0)=X_0\mathrm{Var}(\hat\beta)X_0'=\sigma^2X_0(X'X)^{-1}X_0',\\ \hat{Y}_0\pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n-k-1)\sqrt{\mathrm{Var}(\hat{Y}_0)}. E(Y^0)=X0β=E(Y0),Var(Y^0)=X0Var(β^)X0′=σ2X0(X′X)−1X0′,Y^0±t2α(n−k−1)Var(Y^0).
求个别值Y0Y_0Y0的置信区间：Y0=Y^0+μY_0=\hat{Y}_0+\muY0=Y^0+μ，故
E(Y0)=X0β,Var(Y0)=σ2[1+X0(X′X)−1X0].\mathrm{E}(Y_0)=X_0\beta,\quad \mathrm{Var}(Y_0)=\sigma^2[1+X_0(X'X)^{-1}X_0]. E(Y0)=X0β,Var(Y0)=σ2[1+X0(X′X)−1X0].

假设检验

平方和分解及其自由度：

TSS\mathrm{TSS}TSS：总平方和，自由度为n−1n-1n−1。
ESS\mathrm{ESS}ESS：回归平方和，自由度为kkk。
RSS\mathrm{RSS}RSS：残差平方和，自由度为n−k−1n-k-1n−k−1。

拟合优度为R2=1−RSSTSSR^2=1-\dfrac{\mathrm{RSS}}{\mathrm{TSS}}R2=1−TSSRSS，为反应变量数的影响，常使用调整可决系数R‾2=1−RSS/(n−k−1)TSS/(n−1)\overline{R}^2=1-\dfrac{\mathrm{RSS}/(n-k-1)}{\mathrm{TSS}/(n-1)}R2=1−TSS/(n−1)RSS/(n−k−1)，即分子分母各自除去其自由度，这包含了解释变量个数的影响。

信息准则：可比较所含解释变量个数不同模型的拟合优度，不同的信息准则有不同的惩罚项。两个指标都是越小越好。

赤池信息准则：AIC=ln⁡e′en+2(k+1)n+1+ln⁡(2π)\displaystyle{\mathrm{AIC}=\ln\frac{e'e}{n}+\frac{2(k+1)}{n}+1+\ln(2\pi)}AIC=lnne′e+n2(k+1)+1+ln(2π)。
施瓦茨准则：SIC=ln⁡e′en+k+1nln⁡n+1+ln⁡(2π)\displaystyle{\mathrm{SIC}=\ln\frac{e'e}{n}+\frac{k+1}{n}\ln n+1+\ln(2\pi)}SIC=lnne′e+nk+1lnn+1+ln(2π)。

ttt检验中，Sβ^j2S_{\hat\beta_j}^2Sβ^j2是β^j\hat\beta_jβ^j的方差估计，实际上是Var(β^)\mathrm{Var}(\hat\beta)Var(β^)中第jjj个对角元素，再利用σ^2\hat\sigma^2σ^2替代即可。
t=β^j−βjSβ^j∼t(n−k−1).t=\frac{\hat\beta_j-\beta_j}{S_{\hat\beta_j}}\sim t(n-k-1). t=Sβ^jβ^j−βj∼t(n−k−1).
受约束回归：对全估计参数最小二乘的残差平方和为RSSU\mathrm{RSS}_{U}RSSU，如果对参数施加约束得到的残差平方和为RSSR\mathrm{RSS}_{R}RSSR，则自然有RSSU≤RSSR\mathrm{RSS}_{U}\le \mathrm{RSS}_{R}RSSU≤RSSR。受约束回归检验的假设是H0H_0H0：约束为真。如果H0H_0H0成立，施加的约束为真，则两个残差平方和之间不应具有过大的差异，构造==FFF统计量==为
残差平方和形式：F=(RSSR−RSSU)/(kU−kR)RSSU/(n−kU−1)∼H0F(kU−kR,n−kU−1).残差平方和形式：F=\frac{(\mathrm{RSS}_{R}-\mathrm{RSS}_{U})/(k_{U}-k_{R})}{\mathrm{RSS}_{U}/(n-k_{U}-1)}\stackrel{H_0}\sim F(k_{U}-k_{R},n-k_{U}-1). 残差平方和形式：F=RSSU/(n−kU−1)(RSSR−RSSU)/(kU−kR)∼H0F(kU−kR,n−kU−1).

拟合优度（可决系数）形式：F=(RU2−RR2)/(kU−kR)(1−RU2)/(n−kU−1)∼H0F(kU−kR,n−kU−1).拟合优度（可决系数）形式：F=\frac{(R_U^2-R_R^2)/(k_U-k_R)}{(1-R_U^2)/(n-k_U-1)} \stackrel{H_0}\sim F(k_{U}-k_{R},n-k_{U}-1). 拟合优度（可决系数）形式：F=(1−RU2)/(n−kU−1)(RU2−RR2)/(kU−kR)∼H0F(kU−kR,n−kU−1).

未约束回归（全参数回归）的残差平方和更小，可决系数更大。（用于记忆公式）

因此，如果F>Fα(kU−kR,n−kU−1)F>F_{\alpha}(k_{U}-k_{R},n-k_{U}-1)F>Fα(kU−kR,n−kU−1)，则拒绝原假设，认为约束为假。注意FFF检验总是单边的。

FFF检验：原假设是β1=β2=⋯=βk\beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_kβ1=β2=⋯=βk，从而RSSR=∑yi2=TSS\mathrm{RSS}_{R}=\sum y_i^2=\mathrm{TSS}RSSR=∑yi2=TSS，故
F=(TSS−RSS)/kRSS/(n−k−1)=ESS/kRSS/(n−k−1).F=\frac{(\mathrm{TSS-RSS})/k}{\mathrm{RSS}/(n-k-1)}=\frac{\mathrm{ESS}/k}{\mathrm{RSS}/(n-k-1)}. F=RSS/(n−k−1)(TSS−RSS)/k=RSS/(n−k−1)ESS/k.
原模型有kkk个解释变量，去掉qqq个变量：原假设是βk=⋯=βk−q+1=0\beta_{k}=\cdots=\beta_{k-q+1}=0βk=⋯=βk−q+1=0，从而
F=(RSSR−RSSU)/qRSSU/(n−k−1).F=\frac{(\mathrm{RSS}_{R}-\mathrm{RSS}_{U})/q}{\mathrm{RSS}_{U}/(n-k-1)}. F=RSSU/(n−k−1)(RSSR−RSSU)/q.
原模型有kkk个解释变量，增加qqq个变量：原假设是βk+1=⋯=βk+q=0\beta_{k+1}=\cdots=\beta_{k+q}=0βk+1=⋯=βk+q=0，从而
F=(RSSR−RSSU)/qRSSU/(n−(k+q)−1)=(RSS−RSSU)/qRSSU/(n−k−q−1).F=\frac{(\mathrm{RSS}_{R}-\mathrm{RSS}_{U})/q}{\mathrm{RSS}_{U}/(n-(k+q)-1)}=\frac{(\mathrm{RSS}-\mathrm{RSS}_{U})/q}{\mathrm{RSS}_{U}/(n-k-q-1)}. F=RSSU/(n−(k+q)−1)(RSSR−RSSU)/q=RSSU/(n−k−q−1)(RSS−RSSU)/q.
邹氏稳定性检验：有两组样本X(1),X(2)X^{(1)},X^{(2)}X(1),X(2)，估计出两组参数α,β\alpha,\betaα,β，原假设是α=β\alpha=\betaα=β，从而
F=(RSSR−RSSU)/(k+1)RSSU/(n1+n2−(2k+2)).F=\frac{(\mathrm{RSS}_{R}-\mathrm{RSS}_{U})/(k+1)}{\mathrm{RSS}_{U}/(n_1+n_2-(2k+2))}. F=RSSU/(n1+n2−(2k+2))(RSSR−RSSU)/(k+1).