每日一题/006/矩阵/设 n阶实对称矩阵 A满足 A^2=A,且 A 的秩为r,试求行列式 det(2E-A) 的值

题目：
设 nnn 阶实对称矩阵 AAA 满足 A2=AA^2=AA2=A ,且 AAA 的秩为 rrr,试求行列式 det⁡(2E−A)\det(2E-A)det(2E−A) 的值

参考答案：
对于 AAA 的任一特征向量 α\alphaα,设其对应的特征值为 λ\lambdaλ,则有：

λα=Aα=A2α=λ2α\lambda \alpha=A\alpha =A^2\alpha=\lambda^2\alphaλα=Aα=A2α=λ2α

所以，λ=0\lambda=0λ=0 或 λ=1\lambda=1λ=1,即 AAA 的特征值只能在 0,10,10,1 中取得。

因为 AAA 是实对称矩阵，所以存在可逆矩阵 PPP,使得

P−1AP=[Er000]=BP^{-1}AP=\begin{bmatrix}E_r&0\\0&0\end{bmatrix}=BP−1AP=[Er000]=B

其中 ErE_rEr 为 rrr 阶单位矩阵

从而

det⁡(2E−A)=det⁡(2PP−1−PBP−1)=det⁡(P2EP−1−PBP−1)=det⁡(P(2E−B)P−1)=det⁡(2E−B)=[Er002En−r]=2n−r\begin{aligned}\det(2E-A)&=\det(2PP^{-1}-PBP^{-1})\\ &=\det(P2EP^{-1}-PBP^{-1})\\ &=\det(P(2E-B)P^{-1})\\ &=\det(2E-B)\\ &=\begin{bmatrix}E_r&0\\0&2E_{n-r}\end{bmatrix}\\ &=2^{n-r}\end{aligned}det(2E−A)=det(2PP−1−PBP−1)=det(P2EP−1−PBP−1)=det(P(2E−B)P−1)=det(2E−B)=[Er002En−r]=2n−r

2021年1月2日21:51:36

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