【牛客每日一题】4.16 逆序对 ( 数学 , 排列组合 ,快速幂 , 快速乘 )

【每日一题】逆序对

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/14731
来源：牛客网

题目描述

求所有长度为n的01串中满足如下条件的二元组个数：设第i位和第j位分别位ai和aj（i<j）ai 和 aj（i<j）ai和aj（i<j），则ai=1,aj=0a_i=1,a_j=0ai=1,aj=0。答案对1e9+7取模。
输入描述:
输入一个n。
输出描述:
输出答案对1e9+71e9+71e9+7取模
示例1

输入

3
输出

说明
备注:
n<=1018n <= 10^{18}n<=1018

要组成一对逆序对，那么随机从n个位置任取两个，前面位置放1，后面位置放0，就组成一个逆序对，所以简单的排列组合，答案为C(n,2)C(n,2)C(n,2)。n个位置固定了两个位置了，还剩下n-2个位置，每个位置可以放0或者1，就有2n−22^{n-2}2n−2种可能，所以最后的答案为C(n,2)∗2n−2C(n,2)*2^{n-2}C(n,2)∗2n−2=n∗(n−1)∗2n−3n*(n-1)*2^{n-3}n∗(n−1)∗2n−3，用快速幂+快速乘优化即可。要注意这里是2n−32^{n-3}2n−3，所以如果n==1/n==2的话(n-3)就会小于0，所以要特判为0和1。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
//#define mid (l+r)/2
#define over(i,s,t) for(register long long i=s;i<=t;++i)
#define lver(i,t,s) for(register long long i=t;i>=s;--i)
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long ll;//全用ll可能会MLE或者直接WA,试着改成int看会不会A
const ll N=1e5+7;
const ll INF=1e10+9;
const ll mod=1e9+7;
const double EPS=1e-10;//-10次方约等于趋近为0
const double Pi=3.1415926535897;
inline ll qmul(ll x,ll y,ll p)
{ll z=(long double)x/p*y;ll res=(unsigned long long)x*y-(unsigned long long)z*p;return (res+p)%p;
}
inline ll qpow(ll a,ll b)
{ll res=1;while(b){if(b&1)res=qmul(res,a,mod);a=qmul(a,a,mod);b>>=1;}return res%mod;
}
ll n;
int main()
{scanf("%lld",&n);if(n==1)puts("0");else if(n==2)puts("1");else printf("%lld\n",qmul(qmul(qpow(2,n-3),n,mod),n-1,mod));return 0;
}

老规矩，官方题解奉上：

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