陶哲轩实分析习题8.3.4

第一问：证明对于任何集合$X$,$X$具有比$2^X$严格小的基数.这一问可以通过定理8.3.1(Cantor 定理)很容易推出.

第二问：第二问叫我们证明基数大小的传递性.设集合$A$的基数严格小于$B$,集合$B$的基数严格小于$C$,易得$A$的基数小于或等于$C$的基数,假若$A$的基数能等于$C$的基数，表明$A$与$C$之间存在双射.因为$A$到$B$有单射，因此$C$到$B$有单射.而$B$到$C$也有单射，根据Cantor-Bernstein-Schroeder定理,$B$到$C$有双射,这与$B$的基数严格小于$C$矛盾.因此假设不成立，即$A$的基数严格小于$C$的基数.

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