【渝粤题库】陕西师范大学500010 量子力学 作业（专升本）
一、填空题
1、历史上第一个完全肯定光除了波动性之外还具有粒子性的科学家是 。按照光子假，频率为ν、波长为λ的电磁辐射其光子的能量E= ，动量P= ．
2、按照德布罗意假说，能量为E、动量为的自由粒子，其相应的物质波可表示为Ψ= ，粒子的速度远小于光速时，其德布罗意波长λ= = ．
3、按玻恩对波函数的统计解释，归一化的波函数ψ(x,y,z,t)应满足的条件是 ，描写同一状态的两个归一化的波函数其差别是 ．
4、若单粒子体系的哈密顿为, 则体系的薛定格方程为 ；当不显含时间t时, 体系的定态波函数为 .薛定格方程的一般解是 ．
5、体系的角量子数=2，则角动量的大小L= ，角动量的z分量的可能值是 , , .
6、动量算符的本征函数为.若C=，则归一化表达式为 ．若C=，则归一化表达式是 ；
7、力学量Q具有连续分布的本征值q, 相应的本征函数为.则任意力学量F在Q表象中的矩阵元 .按这个公式计算出在坐标表象中F的矩阵元＝ .
8、体系的哈密顿为,与时间无关, 只有含时间t.若体系的薛定格方程为.该方程在能量表象中的表示形式为 ,该方程的一级近似解为 .
9、微扰在t=0时作用于体系,则体系由跃迁到态的条件是 , 单位时间里的跃迁几率是 .
10、不考虑两粒子间的相互作用时，由N个全同的玻色子构成的体系的波函数是 ，由N个全同的费米子构成的波函数是 ．
11、德布罗意假说的内容是 ，它是通过 实验得到证实。
12、按照德布罗意假说，实物粒子也应该具有波动性。能量为E，动量为的粒子其德布罗意波长λ= ．频率ν= 。
13、按照玻恩对波函数的统计解释，粒子在空间各点出现的几率只决 决定于 ，而不决定于 。
14、若单粒子体系的哈密顿为, 则体系的薛定格方程为 ；当不显含时间t时, 体系的定态薛定格方程为 。
15、角动量平方算符的本征函数系是,相应的本征值= ；而角动量的大小L= 。
16、氢原子处于,则在半径r到r+dr的球壳内找到电子的几率是 ，电子在方向(θ,φ)附近立体角dΩ =sinθdθdφ内的几率是 。
17、爱因斯坦提出的自发发射系数其物理意义是 ;而受激发射系数的物理意
义是 。
18、氦原子的激发态有正氦和仲氦之分。正氦的波函数是 ，相应的本征能量是 。
19、光是具有波粒二象性的物质客体。证明光具有粒子性的实验证据是 ， , 。
20、微观粒子也应该具有波动性, 粒子的能量E和动量与相应的波的频率ν和波长λ的关系是 , 。
21、玻恩对波函数的统计解释是 若单粒子体系的状态用波函数描写, 则时刻 t, 在空间点处小体元dτ内粒子出现的几率是dw = 。
22、角动量平方算符的本征函数系是,相应的本征值= ；而角动量的大小L= 。
23、动量算符的本征函数为.若归一化为δ函数, 则C= ；按箱归一化,则C= 。
24、力学量Q具有连续分布的本征值q, 相应的本征函数为.则任意力学量F在Q表象中的矩阵元 。按这个公式计算出在坐标表象中力学量算符的矩阵元＝ 。
25、体系的哈密顿为,与时间无关, 只有含时间t.若体系的薛定格方程为.该方程在能量表象中的表示形式为 ,该方程的一级近似解为 。
26、微扰在t=0时作用于体系,则体系由态跃迁到态的条件是 , 单位时间里的跃迁几率是 。
27、根据己有知识列举三个电子存在自旋的实验事实是 , , 。
28、按照爱因斯坦的光子假设，频率为ν、波长为λ的电磁辐射，其光子的能量E=（ ），动量=（ ）。
29、微观体系的哈密顿显含时间时，体系的薛定格方程为（ ），哈密顿不显含时间时体系的薛定格方程可以简化为（ ）。
30、两力学量算符对易的条件是（ ）；若两力学量算符对易，则同时测量两力学量，其结果是（ ）。
31、动量算符的本征函数可表示为，其中A是归一化系数。若归一化为δ函数，则A=（ ）；若按照箱归一化，则A=（ ）。
32、角动量算符的本征值是（ ），当角量子数确定后，角动量的z分量（ ）。
33、力学量算符的本征值为，在自身表象中的矩阵为F，经过么正变换S变到 表象，则它在表象中的矩阵（ ）；矩阵的迹=（ ）。
34、爱因斯坦提出光的发射和吸收系数。则原子在单位时间里由能级自发跃迁到能级的几率是（ ）；若照射原子体系的光在ω→ω+dω频率范围内的能量密度为I（ω）dω，则原子在单位时间内由能级受激跃迁到能级的几率是（ ）。
35、在考虑自旋的条件下，电子的波函数可以写成二分量式。若电子处在时，电子波函数为（ ）；若电子处在时，电子的波函数为（）。
36、为任意两角动量，其和矢量为。相应的量子数依次为；z分量量子数依次为；则量子数取值规律为=（ ），（ ）。
37、全同性原理是指（ ），由全同性原理可以得出的重要结论是：描写全同粒子体系状态的波函数必须是（ ）。
二、 简要回答问题
1、 微观领域中，物质都具有波粒二象性。试述你对光的波粒二象性的理解？
2、波函数与它所描写的粒子之间有怎样的关系？为什么说“波函数描写体系的量子状态”？
3、什么是力学量算符的本征态？力学量算符的本征态有何性质？
4、两电子的自旋函数可以组合成满足体系对称性要求的四个可能的自旋。试给出四个自旋态的具体表达式及相应的量子数S（总自旋量子数）和（总自旋磁量子数）
5、量子力学中微观粒子的量子状态与经典力学中质点的状态有何异同？
6、试从物理和数学两个方面分析薛定格方程应该满足的三个条件。
7、量子力学中, 力学量算符与其所代表的力学量有何关系？
8、什么是全同性原理？ 由全同性原理得出全同粒子体系的波函数有什么重要性质？
9、试述波函数应该满足的三个标准条件及其原因。
10、量子力学中, 力学量为什么要用算符表示？
三、 计算题
1、对于谐振子的第一激发态求：①求谐振子几率最大的位置；②与能量相应的经典振幅A。
2、氢原子处在基态,求最可几半径及相应的几率.
3、线谐振子的哈密顿量为，求它在动量表象中的矩阵元。
4、粒子未受微扰时有两个能级和, 相应的非简并态的本征函数为和,受到微扰作用,矩阵元，．a，b为实常数。求能量到二级近似, 波函数到一级近似.
5、设氢原子的状态是
求轨道角动量平方和自旋角动量平方的平均值。
6、厄米多项式 ，试求谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。
7、氢原子处在基态,求电子相对于核的距离r的平值.
8、已知在和的共同表象中,的矩阵为：
.
求本征值和归一化的本征函数.
9、粒子未受微扰时能级为二度简, 相应的简并态的本征函数为和,受到微扰作用,其中B为实常数。求能量到一级近似, 波函数到零级近似.
10、粒子在一维对称势阱中运动, 阱宽.，粒子处于第一激发态。求：①几率密度最大的位置. ②粒子在区间[]出现的几率.
11、氢原子处在基态,求动能的平均值.
12、已知在和的共同表象中,的矩阵为：
.
求本征值和归一化的本征函数.
13、粒子未受微扰时有两个能级和, 相应的非简并态的本征函数为和,受到微扰作用，其中B为实常数。求能量到二级近似, 波函数到一级近似.
14、在自旋态中, 求和的测不准关系：
15、对谐振子的第一激发态，求；
①谐振子几率最大的位置。 ②求与能量相应的经典振幅Ａ。
16、在一维无限深势阱中，粒子状态为ψ（x）＝Ａx（x－a），求动量平均值和动能平均值．
17、氢原子的能级为，为基态能量。若氢原子在光照射下由基态跃迁到第一激发态，求氢原子所吸收的光子的波长为多少纳米？
本题所用常数∶光速c=3×m，普朗克常h=6.6×，1eV=1.6×
18、自旋算符
ħ
求的本征值和本征函数。
四、证明题
1、在和表象,求解的本征方程并证明它的两个本征态函数构成正交归一系。
2、证明对易式：.
3、证明：若两算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。
4、证明对易式：。
5、证明：厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交（非简并）。
6、证明下列对易关系：
①. ②. 利用①的结果证明：ħ
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